Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 18, 2014, 10:48:09 öö

Başlık: Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.3
Gönderen: geo - Ağustos 18, 2014, 10:48:09 öö

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle ABP = \angle PBC = 30^\circ - \angle PCB$ ve $\angle ACP = 30^\circ$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle BAP = 2\angle BCP$ olduğunu gösteriniz.

(http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/ucgen-icerisinde-p-noktasi-model-4-3/?action=dlattach;attach=13982;image)

Başlık: Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.3
Gönderen: geo - Ağustos 18, 2014, 10:53:32 öö

$[BA$ üzerinde $\angle BDP = \angle BCP = t$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $\angle PDC = 60^\circ$ dir.
$\triangle BPD \cong \triangle BPC$ olduğu için $PD=PC$ ve $\triangle CDP$ eşkenardır. $\angle PCA = \angle ACD = 30^\circ$ dir.
Aynı zamanda $AC \perp PD$ dir. Bu durumda $ADCP$ bir deltoiddir. $\angle ADP = \angle APD = t$ olduğu için $\angle BAP = 2t = 2\angle PCB$ dir.

Not:
Bu sorunun Ceva teoreminin trigonometrik yer değiştirme özelliğine göre modellenmiş hali burada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=1556.0) Model 4.3 olarak verilmiş.

Başlık: Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.3
Gönderen: geo - Ağustos 18, 2014, 10:58:05 öö

$BP$ ile $AC$ doğruları $D$ de kesişsin. $\angle BDA = 60^\circ$ dir.
$\angle BDC$ nin açıortayı $BC$ yi $E$ de kessin. $\angle BDA = \angle BDE = \angle EDC = 60^\circ$ dir.
$ABED$ bir deltoiddir.
$PCD$ bir $30^\circ - 30^\circ - 120^\circ$ üçgeni olduğu için $DE \perp PC$ dolayısıyla $PDCE$ de bir deltoiddir.
Bu durumda $\angle EPC = \angle PCE = t$ ve $\angle PEB = 2t$ dir.
$ABED$ nin deltoidliğinden $\angle BAP = \angle BEP = 2t$ dir.

Başlık: Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.3
Gönderen: geo - Ağustos 18, 2014, 11:48:50 öö

$[BP$ üzerinde $\angle DCA = \angle ACB = 30^\circ + t$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım.
$BD \cap AC = \{I\}$ ve $BA \cap CD =\{E\}$ olsun.
$EBC$ üçgeninde $I$ iç merkezdir. Bu durumda $\angle BEI = \angle IED = 30^\circ$ ve $\angle BIC = 120^\circ$ dir.
$\angle AED + \angle AID = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$ olduğu için $AEDI$ bir kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle IAD = \angle IDA = \angle IEA = 30^\circ$ olur.
$\angle ADP = \angle ACP = 30^\circ$ olduğu için $ADCP$ dörtgeni de kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle APD = \angle ACD = 30^\circ + t$ ve $\angle PAB = \angle APD - \angle ABP = 2t$ dir.

Başlık: Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.3
Gönderen: geo - Ağustos 18, 2014, 08:57:13 ös

Yardımcı Soru:

$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde $\angle BAP = 30^\circ$, $\angle ABP = t$, $\angle PAC = \angle PBC = 30^\circ - t$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle PCA = 2t$ olduğunu gösteriniz.

(http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/ucgen-icerisinde-p-noktasi-model-4-3/?action=dlattach;attach=14030;image)

Çözüm:
İki soru da aynı Ceva Modeli (http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/model-ucgen-p-noktasi/)ni oluşturuyor. $4.3 = (t, 30-t) : (30-t, 30) \to (x,y)$
O halde soruların cevapları aynıdır.

$C$ nin $AB$ ye göre simetriği $D$ olsun.
$\angle DBA = \angle ABC = 30^\circ$ ve $\angle ADC = \angle ACD = 30^\circ + t$ dir.
$BCD$ bir eşkenar üçgen olup $\angle DCB = 60^\circ$ dir.
$[BP$ üzerinde $BC = CE$ olacak şekilde bir $E$ noktası alındığında $\angle PEC = 30^\circ - t$ ve $\angle DCA = \angle ACE = 30^\circ + t $ dir.
Aynı zamanda $CD=CE$ olduğu için $\triangle ACD \cong ACE$ dir. Yani $\angle ADC = \angle AEC = 30^\circ + t$ ve $\angle AEP = 2t$ dir.
$\angle PAC = \angle PEC = 30^\circ - t$ olduğu için $PAEC$ bir kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle ACP = \angle AEP = 2t$ olacaktır.

Başlık: Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.3
Gönderen: geo - Ağustos 19, 2014, 12:53:38 ös

$\angle BAP = \alpha$ ve $\angle BCP = t$ olsun.

Ceva Teoremnin Trigonometrik Halinden (sadeleştirildikten sonra)  $$\dfrac{\sin t}{\sin 30^\circ} \cdot \dfrac{\sin (90^\circ + t - \alpha)}{\sin \alpha} = 1$$ elde ederiz.
$\dfrac{\sin \alpha}{\sin (90^\circ + t - \alpha)} = \dfrac{\sin \alpha}{ \cos (\alpha - t)} = \dfrac{\sin t}{\sin 30} = \dfrac{\sin 2t}{\cos t} = \dfrac{ \sin 2t}{ \cos (2t - t)}$ $\Rightarrow \alpha = 2t$. $\blacksquare$

Başlık: Ynt: Üçgen içerisinde P noktası, Model 4.3
Gönderen: geo - Ağustos 07, 2026, 10:36:21 ös

Ceva Teoremi'nin sonucu olarak açıların yerlerini değiştirebiliyoruz. O zaman aşağıdaki hali için bir çözüm verelim.

Soru: $\angle ACP=t$, $\angle ABP = \angle CBP = 30^\circ - t$ ve $\angle BCP=30^\circ$ ise $\angle CAP = 2t$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm:

$BA$ nın uzantısı üzerinde $D$ noktasını $\angle DCP = 30^\circ$ olacak şekilde alalım. $\triangle DBC$ de, $P$ iç merkezdir.
$BP$ nin uzantısı $CD$ yi $E$ de kessin.
$\angle ECA = \angle ABE = 30^\circ -t$ olduğu için $EABC$ kirişler dörtgenidir. $\angle AEB = \angle ACB = 30^\circ + t$.

$\angle ADP = \angle AEB = 30^\circ + t$ olduğu için $ADEP$ de kirişler dörtgenidir. Bu durumda, $\angle PAE = \angle PAE = 30^\circ + t$ ve $\angle CAP = \angle PAE - \angle EAC = 30^\circ + t - (30^\circ - t) = 2t$ dir.

size(300);
pair B = (0,0), C = (6,0);
pair A = (3, 2.517299);
pair P = (3.680045, 1.339427);
pair G = (A + B + C) / 3;
pair D = (4.04189, 3.39155);   // BA uzantisi, angle DCP=30
pair E = (4.95811, 1.8046);    // BP ile CD kesisimi

draw(A--B--C--cycle);
draw(P--A); draw(P--B); draw(P--C);

// Cozumdeki yardimci cizim (kirmizi)
draw(A--D, red);
draw(C--D, red);
draw(P--E, red);
draw(A--E, red);
draw(D--P, red);

dot("$D$", D, unit(D-G));
dot("$E$", E, unit(E-G), red);
dot("$A$", A, unit(A-G));
dot("$B$", B, unit(B-G));
dot("$C$", C, unit(C-G));
dot("$P$", P, S);

draw(anglemark(P, B, A, 14, 17));   // ABP: iki konsentrik, etiketsiz
draw(anglemark(C, B, P, 14, 17));   // CBP: iki konsentrik
label("$30^\circ-t$", B + 1.20*dir(8));   // CBP etiketi
markangle("$30^\circ$", P, C, B);   // BCP
markangle("$t$", A, C, P);   // PCA
draw(anglemark(E, C, A, 14, 17), red);   // ECA: iki konsentrik kirmizi
draw(anglemark(C, A, E, 14, 17), red);   // EAC: iki konsentrik kirmizi
draw(anglemark(B, D, P, 12, 15, 18), red);   // BDP: uc konsentrik kirmizi
draw(anglemark(P, D, C, 12, 15, 18), red);   // CDP: uc konsentrik kirmizi
draw(anglemark(A, E, P, 12, 15, 18), blue);   // AEP: uc konsentrik mavi