Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Ağustos 18, 2014, 02:58:15 öö
-
$\triangle ABC$ nin iç bölgesinde $\angle ACP = 3\angle ABP $, $\angle CBP = 30^\circ$ ve $\angle BCP = 60^\circ - \angle ABP$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $\angle PAC = 2\angle BAP$ olduğunu gösteriniz.
-
$P = D$ olmak üzere;
http://geomania.org/forum/fantezi-geometri-arsivi/model-ucgen-ve-dortgen/msg1782/#msg1782
(http://geomania.org/forum/fantezi-geometri-arsivi/model-ucgen-ve-dortgen/?action=dlattach;attach=2761;image)
Not:
Bu sorunun Ceva teoreminin trigonometrik yer değiştirme özelliğine göre modellenmiş hali burada (http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/model-ucgen-p-noktasi/msg5609/#msg5609) Model 1.9 olarak verilmiş.
-
$CP \perp AB$ olduğu için $$\dfrac{\tan \angle ABP }{\tan CBP } = \dfrac{\tan \angle BAP }{\tan \angle CAP }.$$
$\angle ABP = t$ ve $\angle BAP = \alpha$ dersek
$\dfrac{\tan t}{\tan (30^\circ + t) } = \dfrac{\tan x}{\tan (90^\circ - 3t) } \Rightarrow \tan x = \dfrac{\tan t}{\tan (60^\circ - t) \tan 3t}$ elde ederiz.
$\tan 3t = \dfrac{3\tan t - \tan^3 t}{1-3\tan^2 t}$ (bkz. Wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Double-angle.2C_triple-angle.2C_and_half-angle_formulae)) olduğu için
$\begin{array}{lcl}
\tan x &=& \dfrac{1-3\tan^2 t}{3 - \tan^2 t} \cdot \dfrac{\sqrt 3 - \tan t}{ 1 + \sqrt 3 \tan t}\\
&=& \dfrac{1-\sqrt 3 \tan t}{\sqrt 3 + \tan t} \\
&=& \dfrac{1}{\tan (60^\circ + t)} \\
&=& \tan (30^\circ - t).
\end{array}$
$x = 30^\circ - t$ ise $\angle PAC = 60^\circ - 2t$ olur.