Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: berkkant - Temmuz 27, 2014, 09:40:02 öö
-
$x, y, z>0 $; $1≥x$; $2≥y$; $x+y+z=6$ ise $(x+1)(y+1)(z+1)≥4xyz$ olduğunu ispatlayınız.
-
Çözüm(Hüseyin Emekçi) :
Öncelikle bu ifadeyi açacağız.
$(x+1)(y+1)(z+1)=(xy+x+y+1)(z+1)$
=$xyz+xy+yz+xz+x+y+z+1≥4xyz$
=> $xy+yz+xz+x+y+z+1≥3xyz$ (1)
Şimdi x≤1 ise $yz≥xyz$ dir ve bunu (1) de yerine koyalım:
$xy+yz+xz+x+y+z+1≥xy+xyz+xz+x+y+z+1≥3xyz$
=> $xy+xz+x+y+z+1=(y+z+1)(x+1)≥2xyz$
Yani $(y+z+1)(x+1)≥2xyz$ olduğunu göstersek yeter.
AGO'dan $(x+1)≥2\sqrt{x}$ tir.
O zaman:
$(y+z+1)(x+1)≥(y+z+1)2\sqrt{x}≥2xyz$
Biz bu $(y+z+1).2\sqrt{x}≥2xyz$ eşitsizliği göstereceğiz. (y+z+1) i yalnız bırakalım.
$y+z+1≥yz\sqrt{x}$
$y+z+1=7-x$ olduğunu $x+y+z=6$ olduğundan biliyoruz.
O zaman bu
$7-x≥yz\sqrt{x}$
eşitsizlik çalışmalı ve biz bunu göstereceğiz.7 yi yalnız bırakalım.
$7≥\sqrt{x}(\sqrt{x} + yz)$
Burada amacımız sağ tarafı arttırmak ve bundan dolayı $yz$'yi *kendi içerisinde* olabildiğince büyütmek. (3)
İki pozitif sayının toplamı sabit bir değerse bu iki sayının çarpımının en büyük olabilmesi için farklarının mutlak değeri olabildiğince az olmalıdır. Burada $yz$ yi arttırıcaksak $y$ yi 2 almalıyız ki aralarındaki farkın mutlak değeri az olsun ve $z$ nin $y$ den büyük olması da aldığımız bu stratejide önemli.
Şimdi başa dönelim ve y=2 alalım.
$(y+z+1)(x+1)≥2xyz$
=> $(y+z+1)≥\frac{2xyz}{x+1}$
y=2 yi koyalım ve sağ tarafla biraz oynayalım
=> $(z+3)≥\frac{4xz}{x+1}=\frac{4xz+4z-4z}{x+1}$
=$4z-\frac{4z}{x+1}$
Burada paydadaki$x+1$ bize x'i yüksek tutmamız gerektiğini söylüyor ki sağ tarafı arttıralım. $X$ sıfıra yaklaştıkçe sağ taraf da 0 a yaklaşacaktır. O zaman $x=1$ alalım çünkü sağ tarafı maximum hale getiriceğiz.
x=1 ve y=2 durumunda sağ tarafla sol taraf birbirine en yakın konumu alıyor. O zaman z=3 .
$(z+3)≥\frac{4xz+4z-4z}{x+1}=2z$
z=3 koyalım.
$6≥2.3=6$ ve sağ tarafın maximum hâlinde de eşitsizlik çalışıyor. Yani eşitsizlik ispatlanmış oluyor.
Not: $yz$ yi (3) 'te$\sqrt{x}$ ile karşılaştırmadık, $y+z$ nin sabit bir değerinde $yz$ nin kendi içerisinde en büyük değeri alabilmesi için $y=2$ aldık. Ayrıca aradaki bağlantılar bana zayıf geldi, farklı bir çözüm bulabilirsem paylaşmayı düşünüyorum.