(Mehmet Utku Özbek)
$BI \ , \ AI \ , \ AJ \ ,\ CJ$ doğru parçalarının açıortay olduğunu biliyoruz. $ABC$ eşkenar üçgen olduğundan $\angle IBA=60 ^\circ$ dir. $I , B , E , A$ çembersel olduğundan aynı yayı gören çevre açıdan $\angle IEA=60^\circ$ dir. Benzer şekilde $\angle ACJ=60^\circ$ dir. $J,C,E,A$ da çembersel olduğundan yine aynı yayı gören çevre açıdan $\angle JEA=60^\circ$ dir. $|EA|$ nın $\angle IEJ$ nin açıortayı olduğunu ispatladık.
Şimdi $\angle IAJ$ açısını bulalım. $\angle BAC=60^\circ$ olduğundan $\angle IAJ=\dfrac{360-60}{2}=150^\circ$ dir. Bundan sonrasında bir lemma kullanacağız:
$\text{Lemma}:$ Bir $ABC$ üçgeni alalım. Bu üçgenin içinde $\angle BAC$ nin açıortayının üstünde bir $D$ noktası alalım. $\angle BAC= \alpha$ olsun. Eğer $\angle BDC=90+\dfrac{\alpha}{2}$ ise $D$ noktası bu üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. İspatı çok kolaydır.
Bizim sorumuzda bu $ABC$ üçgeni $IEJ$ üçgenidir. Ve $D$ noktası da $A$ noktasıdır. $\angle IEJ=120^\circ$ dir ve $\angle IAJ= 90+\dfrac{120}{2}=150^\circ$ dir. O zaman $A$ noktası $IEJ$ nin iç teğet çemberinin merkezidir. İspat biter.
(http://geomania.org/forum/2013-91/tubitak-genc-takim-secme-2013-soru-1/?action=dlattach;attach=14061;image)