Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: mehmetutku - Temmuz 18, 2014, 11:35:57 ös
-
$a,b,c,d$ pozitif tam sayıları için $ad=b^2+bc+c^2$ ise , $ a^2+b^2+c^2+d^2$ nin bir bileşik tam sayı olduğunu gösteriniz.
-
(Mehmet Utku Özbek)
Onat Vuran'a katkılarından dolayı teşekkürler..
$2ad=2b^2+2bc+2c^2$ dır. Şimdi istenen ifadeye $2ad$ ekleyip çıkaralım.
$\Longrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2ad-2ad=(a+d)^2+b^2+c^2-2ad=(a+d)^2+b^2+c^2-(2b^2+2bc+2c^2)=(a+d)^2-(b+c)^2=(a+d-b-c)(a+d+b+c)$
$(a+b+c+d)$ nin $1$ den büyük olduğunu biliyoruz. Yani $(a+d-b-c)$ nin $1$ den büyük olduğunu ispatlamalıyız. $(a+d-b-c) \le 0$ olamayacağı bariz. O zaman $(a+d-b-c)=1$ olamayacağını ispatlamalıyız.
$(a+d-b-c)=1$ olsun. $a+d=b+c+1$ dir. A.G.O yapalım.
$(a+d)^2 \ge 4ad= 4b^2+4bc+4c^2$ dir. $a+d=b+c+1$ yazalım.
$(b+c+1)^2 \ge 4b^2+4bc+4c^2$ İfadeyi açarsak şuna ulaşırız.
$1 \ge 3b^2+2bc+3c^2-2b-2c$ Her iki tarafa da $2$ ekleyelim.
$3 \ge (b+c)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+b^2+c^2$
$b\ge 1$ ve $c\ge 1$ olduğu göz önünde bulundurulursa $min[(b+c)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+b^2+c^2]=6$ bulunur. ÇELİŞKİ. İspat biter.