$\triangle ABC \sim \triangle PBA \sim \triangle QAC$.
Önce açı eşitliğinden $\angle BAC = \angle BPA = \angle AQC$, dolayısıyla $AP=AQ = PM = QN$ dur.
Sonra kenar oranlarından, $\dfrac{AP}{CQ} = \dfrac{BP}{AQ} \Rightarrow \dfrac{PM}{CQ} = \dfrac{BP}{QN}$.
Ayrıca $\angle BPM = \angle NQC$ olduğu için $\triangle BPM \sim \triangle NQC$, dolayısıyla $\angle PBM = \angle QNC$ dir. $BM$ ile $CN$ nin kesişimine $R$ dersek basit açı eşitliklerinden $\angle BQN = \angle BRN = \angle BAC$ olur ki bu da $A$, $B$, $R$, $C$ noktalarının çembersel olduğu anlamına gelir.
(http://geomania.org/forum/2014-172/uluslararasi-matematik-olimpiyati-2014-soru-4/?action=dlattach;attach=13885;image)