Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 28, 2014, 07:59:32 ös
-
$a,b,c,d$ pozitif reel sayılar ve $abcd=1$ ise $\dfrac{ab+1}{a+1}+\dfrac{bc+1}{b+1}+\dfrac{cd+1}{c+1}+\dfrac{da+1}{d+1} \ge 4$ olduğunu ispatlayınız.
-
(Burak Taşdemir, Eray Atay)
$abcd=1$ olduğundan, $a=\dfrac{y}{x}, b=\dfrac{z}{y}, c=\dfrac{t}{z}, d=\dfrac{x}{t} (x,y,z,t \in R^+$) diyelim.
Soru şu hale gelir:
$\dfrac{x+z}{x+y}+\dfrac{y+t}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+t}+\dfrac{t+y}{t+x}\ge4$
Pay ve paydaların çarpımıyla Cauchy-Schwarz Eşitsizliği uygulayalım:
$\left(\dfrac{x+z}{x+y}+\dfrac{y+t}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+t}+\dfrac{t+y}{t+x}\right) \cdot \left [ (x+z)\dfrac{}{}(x+y)+(y+t)\dfrac{}{}(y+z)+(z+x)\dfrac{}{}(z+t)+(t+y)\dfrac{}{}(t+x)\right]$
$\ge \left[(x+z)+(y+t)+(z+x)+(t+y)\dfrac{}{}\right]^2=4(x+y+z+t)^2$
Ortak parantezler kullanılırsa şu eşitlik görülür:
$\left [ \underbrace {(x+z)}(x+y)+\overbrace {(y+t)}(y+z)+\underbrace {(z+x)}(z+t)+\overbrace {(t+y)}(t+x)\right] = \left[(x+y) \underbrace{(x+y+z+t)}+(y+t) \underbrace{(x+y+z+t)}\right] = (x+y+z+t)^2$
O halde yukarıda uyguladığımız Cauchy-Schwarz Eşitsizliği şu eşitsizliğe denktir:
$\left(\dfrac{x+z}{x+y}+\dfrac{y+t}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+t}+\dfrac{t+y}{t+x}\right) \cdot (x+y+z+t)^2 \ge 4(x+y+z+t)^2$
$\Longrightarrow \left(\dfrac{x+z}{x+y}+\dfrac{y+t}{y+z}+\dfrac{z+x}{z+t}+\dfrac{t+y}{t+x}\right) \ge \dfrac{4(x+y+z+t)^2}{(x+y+z+t)^2}=4$
İspat biter.