Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 28, 2014, 07:56:25 ös
-
$a,b,c$ pozitif reel sayılar ve $abc=1$ ise $1+\dfrac{3}{a+b+c} \ge \dfrac{6}{ab+bc+ac}$ olduğunu ispatlayınız.
-
(Mehmet Utku Özbek)
A..G.O dan $1+\dfrac{9}{(ab+ac+bc)^2} \ge \dfrac{6}{ab+ac+bc}$ bulunur. O zaman aşağıdaki eşitsizlik doğruysa ispat biter:
$1+\dfrac{3}{a+b+c} \ge 1+\dfrac{9}{(ab+ac+bc)^2}$
$\Longrightarrow (ab+ac+bc)^2 \ge 3(a+b+c)$ olduğunu ispatlamalıyız. Parantezleri açalım:
$\Longrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2 \ge 3(a+b+c)$ Burada $abc=1$ yazalım.
$\Longrightarrow a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2 \ge a+b+c$ olduğunu ispatlamalıyız. Burada $ab=\dfrac{1}{c}$ ve $a=\dfrac{1}{bc}$ yazalım. Diğerlerini de böyle yazalım.
$\Longrightarrow \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2} \ge \dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}$ olduğunu ispatlamalıyız. Buradan görmek belki biraz zor olabilir. O yüzden $x=\dfrac{1}{a} , y=\dfrac{1}{b} , z=\dfrac{1}{c}$ dönüşümlerini yapalım.
$\Longrightarrow x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+xz$ olduğunu ispatlamalıyız. Bu da zaten doğrudur. İspat biter. (son ifadenin doğruluğunu her iki tarafı iki ile çarpıp sol tarafa atarak görebiliriz.)
-
(Mehmet Utku Özbek)
$\Longrightarrow (ab+ac+bc)^2 \ge 3(a+b+c)$ olduğunu ispatlamalıyız.
$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ eşitsizliğini $x=ab , y=bc , z=ca$ ve $abc=1$ koşulu altında kullanarak da doğruluğunu görebiliriz.