Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 22, 2014, 08:12:59 ös
-
$0 \lt x , y \lt 1$ ise $\dfrac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$ ifadesinin en büyük değerini bulunuz.
-
(Mehmet Utku Özbek)
$1-x-y=z$ olsun. O zaman ifade şuna dönüşür:
$\Longrightarrow \dfrac{xyz}{(1-x)(1-y)(1-z)}$
Şimdi iki durum var. $z$ negatif veya pozitif olabilir. Eğer $z$ negatifse ifadedeki üst kısım negatif , alt kısım pozitif olacağından sonuç negatif olur. Ama biz en büyük değeri arıyoruz. O zaman $z$ pozitif olmalıdır.
Şimdi $1-x=y+z$ yazalım. Diğer iki parantezi de böyle yazalım:
$\Longrightarrow \dfrac{xyz}{(y+z)(x+z)(x+y)}$ A.G.O dan $x+y \ge 2\sqrt{xy}$ olacağı için şunu yazabiliriz:
$\Longrightarrow \dfrac{xyz}{(y+z)(x+z)(x+y)} \le \dfrac{xyz}{(2\sqrt{yz})(2\sqrt{xz})(2\sqrt{xy})}=\dfrac{1}{8}$ O zaman ifadenin alabileceği en büyük değer $\dfrac{1}{8}$ dir.
-
A.G.O eşitsizliğinden 1/4 ≥ ab/(a+b)2 olduğunu biliyoruz. Ve soruda verilen ifadenin maximum olması için (1-x-y)≥0 olmalıdır. Dolayısıyla yukarıdaki eşitsizlikte a=x ve b=(1-x-y) alırsak;
1/4 ≥ x(1-x-y)/(1-y)2 olur. Aynı eşitsizliği a=y ve b=(1-x-y) için de yazıp taraf tarafa çarparsak;
1/16 ≥ xy(1-x-y)2/(1-x)2(1-y)2 ifadenin kökünü alıp ifadeyi (x+y)'ye bölersek;
1/4(x+y) ≥(1-x-y)x1/2y1/2/(1-x)(1-y)(x+y) her iki tarafı x1/2y1/2 ile çarparsak;
1/8 ≥ x1/2y1/2/4(x+y) olduğu için ifadenin maximum değeri 1/8'dir.Eşitlik durumu ise x=y=1/3 iken sağlanır.
-
A.G.O eşitsizliğinden 1/4 ≥ ab/(a+b)2 olduğunu biliyoruz. Ve soruda verilen ifadenin maximum olması için (1-x-y)≥0 olmalıdır. Dolayısıyla yukarıdaki eşitsizlikte a=x ve b=(1-x-y) alırsak;
1/4 ≥ x(1-x-y)/(1-y)2 olur. Aynı eşitsizliği a=y ve b=(1-x-y) için de yazıp taraf tarafa çarparsak;
1/16 ≥ xy(1-x-y)2/(1-x)2(1-y)2 ifadenin kökünü alıp ifadeyi (x+y)'ye bölersek;
1/4(x+y) ≥(1-x-y)x1/2y1/2/(1-x)(1-y)(x+y) her iki tarafı x1/2y1/2 ile çarparsak;
1/8 ≥ x1/2y1/2/4(x+y) olduğu için ifadenin maximum değeri 1/8'dir.Eşitlik durumu ise x=y=1/3 iken sağlanır.