Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 17, 2014, 07:57:55 ös
-
Bir $ABC$ üçgeninde $\angle ACB=90^\circ$ dir. $[BC]$ nin orta noktası $D$ , $E$ ve $F$ ise $[AC]$ üzerinde $[CF]=[FE]=[EA]$ olacak şekilde iki nokta olsun. $C$ den $[AB]$ ye indirilen dikmenin ayağı $G$ ve $AEG$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $H$ olsun. $ABC$ ve $HDF$ üçgenlerinin benzer olduğunu ispatlayınız.
-
$E$ den $AC$ çizilen dikmenin $CG$ doğrusunu kestiği noktaya $K$ diyelim. Bu durumda $\angle{AEK}=\angle{AGK}=90^\circ$ olduğundan $A,E,G,K$ noktaları çemberseldir ve bu çemberin çapı $[AK]$ olduğundan, merkezi olan $H$, $[AK]$ üzerindedir.
$HF \cap EK = \left \{N \right \}$ olsun. $N$ noktası $AFK$ üçgeninde ağırlık merkezi olduğundan $|KN|/|NE|=|FN|/|NH|=2$ dir.
Açılar incelendiğinde $\triangle{ACB} \sim \triangle{KEC}$ olduğunu görüyoruz. Bu benzerliğe göre; $$\dfrac{|EC|}{|BC|}=\dfrac{|KE|}{|AC|} \tag{1}$$ olur ve $$\dfrac{|NE|}{|KE|}=\dfrac{|FC|}{|AC|} \tag{2}$$ $$\dfrac{|EF|}{|EC|}=\dfrac{|DC|}{|BC|} \tag{3}$$ dir. $(1) , (2)$ ve $(3)$ den, $$\dfrac{|NE|}{|FC|}=\dfrac{|EF|}{|DC|} \tag{4}$$ olup bu son orantıdan Kenar-Açı-Kenar benzerlik teoremine göre, $\triangle{EFN} \sim \triangle{CDF} $ olduğunu anlıyoruz. Bu halde, $\angle{CDF}=\angle{EFN}$ ve $\angle{HFD}=90^\circ$ dir. $$\triangle{EFN} \sim \triangle{CDF} \Rightarrow \dfrac{|EF|}{|FN|}=\dfrac{|DC|}{|FD|} \Rightarrow \dfrac{|AC|/3}{2|FH|/3}=\dfrac{|BC|/2}{|FD|} = \dfrac{|AC|}{|BC|}=\dfrac{|FH|}{|FD|} \tag{5}$$
$\angle{ACB}=\angle{HFD}=90^\circ$ olduğundan $(5)$ eşitliğinden dolayı Kenar-Açı-Kenar benzerlik teoremine göre $ACB$ üçgeni ile $HFD$ üçgeni benzer üçgenlerdir.