Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: mehmetutku - Haziran 16, 2014, 07:29:04 ös

Başlık: Geometrik eşitsizlik
Gönderen: mehmetutku - Haziran 16, 2014, 07:29:04 ös

$O$ noktası $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir. $M$ ve $N$ sırası ile $[AB]$ ve $[BC]$ kenarları üzerinde $2\angle MON=\angle AOC$ olacak şekilde alınıyor. $MBN$ üçgeninin çevresinin $[AC]$ kenarının uzunluğundan az olamayacağını gösteriniz.

Başlık: Ynt: Geometrik eşitsizlik
Gönderen: ERhan ERdoğan - Haziran 17, 2014, 07:39:16 ös

(http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/geometrik-esitsizlik-4577/?action=dlattach;attach=13841;image)

$\triangle{BMO}$ nin $OM$ ye göre simetriği $\triangle{B'MO}$ ve $\triangle{BNO}$ nin $ON$ ye göre simetriği $\triangle{B''NO}$ olsun.

Buna göre, $\angle{B'OB''}=2\angle{MON}=\angle{AOC}$ ve $O$ çevrel merkez olduğundan, $|OA|=|OC|=|OB|=|OB'|=|OB''|$ dir.

Sonuç olarak, $\triangle{AOC}\cong \triangle{B'OB''}$ olup $|AC|=|B'B''| \leq |B'M|+|MN|+|NB''| = \text{Çevre}(BMN)$ dir.

(http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/geometrik-esitsizlik-4577/?action=dlattach;attach=13843;image)

Eşitlik durumu üçgen eşkenar olduğunda sağlanır. Bu durumda $O$ noktası $BMN$ üçgeninin dış merkezidir.