Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Haziran 14, 2014, 04:14:03 ös
-
$ABC$ üçgeninde $AD,BE,CF$ yükseklikler olup çevrel çemberin merkezi $O$ ve diklik merkezi $H$ dır.
$ED$ ile $AB$ nin kesişimi $M$ ve $FD$ ile $AC$ nin kesişimi $N$ olmak üzere; $OH$'nin $MN$'yi dik kestiğini gösteriniz.
-
(Mehmet Utku Özbek)
$OH \perp MN$ olması bize kuvvet eksenini hatırlatıyor. $O$ nun $ABC$ üçgeninin çevrel çember merkezi olduğunu biliyoruz. O zaman $OH$ doğrusu üzerinde bir çember merkezi daha bulup $M$ ve $N$ noktalarının bu iki çembere kuvvetlerinin aynı olduğunu gösterirsek ispat biter. Çünkü iki çemberin kuvvet ekseni bu çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya diktir.
Tanım: Diklik merkezi $H$ olan bir $ABC$ üçgenin kenarlarının orta noktaları, yüksekliklerin ayakları ve $|AH| \ , \ |BH| \ , \ |CH|$ doğru parçalarının orta noktaları çemberseldir. Bu çembere dokuz nokta çemberi denir ve bu çemberin merkezi $K$ olmak üzere $K$ noktası $|OH|$ doğru parçasının orta noktasıdır.
Şimdi artık $OH$ doğrusunun üzerinde merkezi olan iki çember biliyoruz. $M$ noktasının $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine göre kuvveti $MA\cdot MB$ dir. $M$ noktasının dokuz nokta çemberine göre kuvveti $ME\cdot MD$ dir. $ABDE$ dörtgeni kirişler dörtgeni olduğu için $MA\cdot MB=ME\cdot MD$ dir. O zaman $M$ noktası bu iki çemberin kuvvet ekseni üzerindedir.
$N$ noktasının $ABC$ üçgeninin çevrel çemberine göre kuvveti $NA \cdot NC$ dir. $N$ noktasının dokuz nokta çemberine göre kuvveti $NF \cdot ND$ dir. $AFDC$ dörtgeni kirişler dörtgeni olduğu için $NA \cdot NC=NF\cdot ND$ dir. O zaman $N$ noktası bu iki çemberin kuvvet ekseni üzerindedir. Yani $MN$ doğrusu bu iki çemberin kuvvet eksenidir. $K$ noktası $OH$ doğrusu üzerinde olduğu için $OH \perp MN$ dir. İspat biter.
(http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/diklik-gosterimi-$oh-perp-mn$/?action=dlattach;attach=14339;image)
-
http://geomania.org/forum/fantezi-geometri/diklik-ekseni