Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2011 => Konuyu başlatan: Egemen - Haziran 08, 2014, 06:10:01 ös
-
Aşağıdaki hangi $(A,B)$ ikilisi için, $2x+y = A$ ve $x^2+y^2 = B$ eşitliklerini sağlayan hiçbir $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi yoktur?
$ \textbf{a)}\ \left (\dfrac{5}{2},\dfrac{9}{7}\right) \qquad\textbf{b)}\ \left (1,\dfrac{2}{9}\right) \qquad\textbf{c)}\ \left (\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}\right) \qquad\textbf{d)}\ \left (\dfrac{9}{5},\dfrac{2}{3}\right) \qquad\textbf{e)}\ \left (2,\dfrac{6}{7}\right) $
-
Yanıt: $\boxed{C}$
$2x+y=A$ ise $y=A-2x$'tir. $x^2+y^2=B$ denkleminde $y$ yerine yazalım:
$x^2+(A-2x)^2=B \Longrightarrow x^2+A^2-4Ax+4x^2=B \Longrightarrow 5x^2 + (-4A)x + A^2-B=0$
Bu $x$'e bağlı $2.$ derece denklemin reel sayı çözümünün olabilmesi için $\Delta=b^2-4ac\geq0$, yani $(-4A)^2-4\cdot5\cdot(A^2-B)\geq0$ olmalıdır.
$(-4A)^2-4\cdot5\cdot(A^2-B)\geq0 \Longrightarrow 16A^2-20A^2+20B\geq0 \Longrightarrow 5B-A^2\geq0$ olmalıdır.
Şıklardaki $(A,B)$ ikilileri denenirse, $C$ şıkkındaki $(\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{3})$ ikilisi için $5B-A^2<0$ olduğu görülür.
-
Cauchy-Schwarz dan $(2x+y)^2 \leq (2^2+1^2)(x^2+y^2) \Rightarrow A^2 \leq 5B$ dir.Şıkları denersek $ (A,B)= \left (\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3} \right)$ için eşitsizlik sağlanmaz.