Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2003 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Haziran 05, 2014, 08:00:15 ös
-
$$\dfrac{a^2}{2ab^2 - b^3 + 1}$$ sayısının pozitif bir tam sayı olmasını sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı ikililerini belirleyiniz.
-
$\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}=k$ , $k\in Z^+$ diyerek işe koyulalım .
İçler dışlar çarpıp ifadeleri tek tarafta toplarsak
$$f(x)=x^2-2kb^2.x+k.(b^3-1)=0$$ denkleminin çözümleri $b>1$ için iki adet pozitif tam sayı köktür.
$b=1$ durumunu özel olarak incelersek $(2n,1)$ çözümünü görürüz.
pozitif tam sayı köklerden birinin $x=a$ olduğunu görürüz. Diğer kökü $a'$ olsun.
Genelliği kaybetmeden $a'\ge a$ alınabilir. $$a^2\le a.a'=k.(b^3-1)$$ gelir.
Başlangıçtaki ifadeyi düzenleyelim. $$k=\dfrac{a^2}{2ab^2-b^3+1}\le b.\dfrac{k^3-1}{2ab^2-b^3+1}$$
$$b^3-1\ge 2ab^2-b^3+1$$
$$b^3-1\ge ab^2$$
$$b>b-\dfrac{1}{b^2}\ge a$$ olduğundan $b>a$ bulunur.
Aynı zamanda başlangıçtaki denklem $$b^2>a^2=k.(2ab^2-b^3+1)\ge 2ab^2-b^3+1>0$$
yazılabildiğinden dolayı $$b^2>(2a-b).b^2+1>0$$ elde edilir. $2a-b>0$ için sol kısma bakınca $0>1$ çelişkisi gelir. $2a-b<0$ ise $2a-b=-x$ ,$x\in Z^+$ olmalıdır. $-xb^2+1>0$ çelişkisi gelir. $2a=b$ olmalıdır.
yani $(a,b)$ ikililerinden biri daha $(n,2n)$ olarak bulunur. Yerine konulduğunda $k=n^2$ yapar.
$$f(x)=x^2-2kb^2.x+k.(b^3-1)=x^2-8n^3x+8n^4-n=0$$ Denkleminin köklerinden biri $n$ olduğuna göre
$n.a'=8n^4-n$ $a'=8n^3-n$ elde edilir. O halde $(8n^3-n,2n)$ de bir çözümdür.