Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1972 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Haziran 05, 2014, 12:33:00 ös
-
Negatif olmayan her $m$ ve $n$ tam sayıları için,
$$\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$$ kesrinin bir tam sayıya eşit olduğunu gösteriniz. ($0!=1$.)
-
$[$ $]$ sembolü tam kısım sembolü olmak üzere
Her $x,y$ reel sayıları için $[2x]+[2y] \ge [\text{x}]+[y]+[x+y]$ olduğunu gösterelim.
$x=[\text{x}]+r$ , $y=[y]+s$ , $0\le r,s \le 1$ olacak şekilde $r,s\in R$ sayıları vardır. $[\text{x}]=a$ ,$[y]=b$ alalım.
$$[2x]+[2y]=2a+2b+[2r]+[2s]$$
$$[x+y]=a+b+[r+s]$$
üstteki iki özellik ispatı istenen eşitsizliğe yazılırsa $[2r]+[2s]\ge [\text{r}]+[\text{s}]+[r+s]$ olduğunu göstermek gerekir. $[\text{r}]=0$ ve $[\text{s}]=0$ olduğunu kullarak ve genelliği bozmadan $r\le s$ alırsak $ [\text{r}]+[\text{s}]+[r+s]=[r+s]\le [s+s]=[2s]\le [2r]+[2s]$ olduğundan ispat biter.
bizden istenen sayı varsayalım ki tam sayı olsun. O halde en az bir asal böleni vardır. Asal bölenleri sayısına $k$ deresek asal bölenleri $1\le i \le k$ , $p_i$ olarak düşünülebilinir.
O halde bu asal sayının paydaki en büyük kuvveti $e$ paydadaki en büyük kuvveti $f$ olsun. O halde sayının çarpanlarından biri $p_i^{e-f}$ olur.
$${\overset{}{\underset{k\ge 1}{{\displaystyle\sum}}}([\dfrac{2m}{p_i^k}]+[\dfrac{2n}{p_i^k}]-[\dfrac{m}{p_i^k}]-[\dfrac{n}{p^k}])}$$ bu ifadeye verdiğimiz eşitsizliği uygularsak $e-f\ge 0$ elde edilir. Burada $p_i$ nin kuvveti hiçbir zaman negatif olmayacağından dolayı ispat tamamlanır.