Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2014 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mayıs 22, 2014, 07:13:30 ös
-
$a+b+c+d+e+f=9$ koşulunu sağlayan $a,b,c,d,e,f$ tam sayıları için, $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
$
\textbf{a)}\ 19
\qquad\textbf{b)}\ 17
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 13
\qquad\textbf{e)}\ 11
$
-
Yanıt: $\boxed{C}$
$a^2+b^2+c^2+d^2+f^2=S$ diyelim. Karesel-Aritmetik Ortalama Eşitsizliği kullanılırsa, $\sqrt{\dfrac{S}{6}}≥\dfrac{9}{6}$, karesi alınıp düzenlenirse $S≥13,5$ bulunur. $a=b=c=2$ ve $d=e=f=1$ için $S=15$ sağlanır.
Öte yandan, $(a+b+c+d+e+f)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2+2(ab+ac+...+ef)$ yani $81-S=2(ab+ac+...+ef)$ eşitliğinde $a,b,c,d,e,f$ tamsayı olduğu için $S$ tek sayı olmalıdır. Yani $S$'nin en küçük değeri $15$'tir.
-
(Egemen Erbayat)
Cevap:$ \boxed C $
$a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2$ en küçük değeri için sayıların hepsinin pozitif sayılar olması gerekir.
$a_1+1=a$, ($a_1$ doğal sayıdır.)( $b$,$c$,$d$,$e$,$f$ için de geçerlidir.)
$a_1+1+b_1+1+c_1+1+d_1+1+e_1+1+f_1+1=9$
$a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1=3$ en az 3 tanesi sıfırdır onlar $d_1$,$e_1$,$f_1$ sayıları olsun.
$a_1$,$b_1$,$c_1$ sayıları 1,1,1; 2,1,0; 3,0,0 olabilirler. $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2={a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2+{d_1}^2+{e_1}^2+{f_1}^2+2(a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1)+6$
$a_1+b_1+c_1+d_1+e_1+f_1=3$
$12+{a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2+{d_1}^2+{e_1}^2+{f_1}^2$'nın minimum değerini bulmamız gerekir.
$a_1+b_1+c_1=3$ $d_1=e_1=f_1=0$ olduğu için ${a_1}^2+{b_1}^2+{c_1}^2$ minimum değerini bulmamız gerekir. En küçük değeri için her sayının pozitif olması gerekmektedir ve sağlayan tek durum vardır.
$a_1=b_1=c_1=1$'dir
$a=b=c=2$, $d=e=f=1$'dir. $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2=15$ olur.