Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2014 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mayıs 22, 2014, 06:57:28 ös

Başlık: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 14
Gönderen: Lokman Gökçe - Mayıs 22, 2014, 06:57:28 ös

$2^{2014}+3^{2014}+4^{2014}+5^{2014}+6^{2014}$ toplamının $13$ ile bölümünden kalan nedir?

$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 1
$

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 14
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 24, 2014, 12:15:54 öö

yanıt: $\boxed{A}$

fermat teoremine göre, $2^{12} \equiv 3^{12} \equiv 4^{12} \equiv 5^{12} \equiv 6^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ dür.

Buna göre, $2^{2014}+3^{2014}+4^{2014}+5^{2014}+6^{2014} \equiv 2^{10}+3^{10}+4^{10}+5^{10}+6^{10} \equiv 4^4+(-4)^5+3^5+(-1)^5+(-3)^5 \equiv -1 \equiv 12 \pmod{13}$

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 14
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 24, 2014, 12:27:10 öö

$2^{2014}+3^{2014}=4^{1007}+9^{1007}=(4+9)(4^{1006}- \cdots +9^{1006})$ ve

$4^{2014}+6^{2014}=16^{1007}+36^{1007}=(16+36)(16^{1006}- \cdots + 36^{1006})$ olduğundan her iki toplamda $13$ ile bölünür.

O halde, $5^{2014}=25^{1007} \equiv (-1)^{1007} \equiv -1 \equiv 12 \pmod{13}$ dir.