Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2014 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mayıs 22, 2014, 06:35:03 ös

Başlık: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 06
Gönderen: Lokman Gökçe - Mayıs 22, 2014, 06:35:03 ös

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $6n+15$ ve $10n +21$ sayılarının en büyük ortak böleni kaç farklı değer alabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 06
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 23, 2014, 01:21:00 öö

Yanıt: $\boxed{A}$

Sayıların ikisinin de tek sayı olduğu açıktır.Buna göre ortak bölen de tek sayıdır. $(6n+15,10n+21)=p$ diyelim.

$p \mid 6n+15 $ ve $p \mid 10+21$ ise $p \mid 5(6n+15)-3(10n+21) \Rightarrow p \mid 12$

$12$ nin tek sayı bölenleri $1$ve $3$ olup iki tanedir.

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 06
Gönderen: Lokman Gökçe - Mayıs 23, 2014, 01:54:00 ös

Yanıt: $\boxed{A}$
Benzer sonuca Euclid Algoritması ile ulaşabiliriz:
$d=(6n+15,10n+21)=(6n+15,4n+6)=(2n+9,4n+6)=(2n+9,-12)$ olup $d \in \{ 1,2,3,4,6,12 \}$ dir. $d$ bir tek sayı olduğundan $d=1$ veya $d=3$ olabilir.