Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2014 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mayıs 22, 2014, 06:33:02 ös

Başlık: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 05
Gönderen: Lokman Gökçe - Mayıs 22, 2014, 06:33:02 ös

$|AB|=9$ ve $|BC|=8$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninin $[AB]$ ve $[AD]$ kenarlarına teğet olup $C$ köşesinden geçen çemberin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 05
Gönderen: Eray - Mayıs 24, 2014, 03:03:09 ös

Yanıt: $\boxed{B}$

(http://geomania.org/forum/2014-168/tubitak-ortaokul-1-asama-2014-soru-05/?action=dlattach;attach=13662;image)

Çemberin $[AB]$'yi kestiği nokta $E$, $[AD]$'yi kestiği nokta $F$ olsun. Merkez ile teğet noktasını birleştiren doğru teğeti dik kestiğinden $E$'den geçen ve $AB$'ye dik olan doğru ile $F$'den geçen ve $AD$'ye dik olan doğrunun kesişim noktası olan $O$, çemberin merkezidir.
$|AE|=|AF|$ olduğundan $AEOF$ karedir. Çemberin yarıçapına $r$ denirse, $|EB|=9-r, |FD|=8-r$ olur. $[FO$, $[BC]$'yi $G$'de kessin. $EBGO$ ve $FGCD$ dikdörtgen olduğundan $|OG|=9-r, |GC|=8-r$ olur. $|OC|=r$'dir ve $OGC$ üçgeninde Pisagor Teoremi yazılırsa, $(9-r)^2+(8-r)^2=r^2 \Rightarrow r^2-34r+145=0 \Rightarrow (r-29)(r-5)=0$ olur. $r=29$ için $OGC$ üçgeninin kenarlarının uzunlukları negatif çıkacağı için $r=5$'tir.