Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Mayıs 12, 2014, 01:28:50 öö
-
$3^n-1 \equiv 0 \pmod{2^{200}}$ denkliğini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı nedir?
-
(Egemen Erbayat)
$3^n-1 \equiv 0 \pmod{2^{3}}$ ise $n=2k$ formunda olmalıdır.($k \in \mathbf N-\{0\}$), $n$ yerine $2k$ yazalım.
$3^{2k}-1 \equiv 0 \pmod{2^{3}}$
$3^{2k}-1 \equiv 0 \pmod{2^{4}}$ olması için $k=2l$ formunda olmalıdır.($l \in \mathbf N-\{0\}$), $k$ yerine $2l$ yazalım.
$3^{2^{2} l}-1 \equiv 0 \pmod{2^{4}}$
$3^{2^{2} l}-1 \equiv 0 \pmod{2^{5}}$ olması için $l=2m$ formunda olmalıdır.($m \in \mathbf N-\{0\}$), $l$ yerine $2m$ yazalım.
$3^{2^{3} m}-1 \equiv 0 \pmod{2^{5}}$
Genelleyebiliriz.
Genelleme: $t \in \mathbf N-\{0\}$ olmak üzere $3^{2^{j} t}-1 \equiv 0 \pmod{2^{j+2}}$
Sorumuzda $j+2=200$ olduğu verilmişti. $3^n=3^{2^{198} t}$ $t$'nin en küçük değeri 1 olduğu için $n$'in de en küçük değeri $2^{198}$'dır.