Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2006 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Mayıs 10, 2014, 09:39:38 ös
-
$n$ takımın katıldığı bir hentbol turnuvasında, her takım, kendi dışındaki her takımla tam olarak bir maç yapıyor. Her maçta kazanan $2$, kaybeden $0$ puan alırken, beraberlik durumunda iki takım da $1$ er puan kazanıyor. Turnuvanın bitiminde tüm takımların puanları farklı olup, sonuncu olan takım ilk üç sırada yer alan takımların hepsini yenmiş ise, $n$ en az kaç olabilir?
$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Cevap: $\boxed{E}$
Her takım, diğer $n-1$ takımla maç yapacağından toplamda $\dfrac{n(n-1)}{2}$ maç yapılacaktır. Her maçta toplamda $2$ puan dağıtıldığında turnuva bittiğinde tüm takımların puanları toplamı $n(n-1)$ olacaktır. Sonuncu takım en az üç maç kazandığından en az $6$ puana sahiptir. Tüm puanlar farklı olduğundan en az $6+7+\cdots+(n+5)=\dfrac{(n+5)(n+6)}{2}-15$ puan toplanabilir. Toplam puan $n(n-1)$ olduğundan $$n(n-1)\geq \dfrac{(n+5)(n+6)}{2}-15\implies n^2-13n\geq 0$$ olacaktır. Yani $n\geq 13$ olacaktır. Cevap hiçbiridir.