Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2005 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 08, 2014, 11:12:14 ös
-
$12345$ sayısı ile başlayıp, her adımda iki değişik basamaktaki rakamların yerlerini değiştiriyoruz. Aşağıdaki sayılardan hangisi çift sayıda adımda elde edilemez?
$
\textbf{a)}\ 13425
\qquad\textbf{b)}\ 21435
\qquad\textbf{c)}\ 35142
\qquad\textbf{d)}\ 43125
\qquad\textbf{e)}\ 53124
$
-
Cevap:$\boxed{D}$
Genelde permütasyon fonksiyonu olarak tanımlanan birebir örten $\sigma:G\to G$ fonksiyonu $G$'deki elemanların yerlerini değiştirir. Mesela $G=\{1,2,3\}$ için $\sigma=\{(1,3),(2,1),(3,2)\}$ fonksiyonu $123$ sayılarını $312$ olarak dizmiştir. Aslında permütasyon fonksiyonları üzerinden grup teorisinde çok kullanılan permütasyon grupları tanımlanabilir (Permutation Group (https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation_group)). Bu grup oluşturma yeteneğinin bir getirisi olarak da permütasyon fonksiyonlarının işaretlerinden bahsedebiliyoruz (signature (https://planetmath.org/signatureofapermutation)). Eğer yapılan "hamle" sayısı çiftse işaret $+$, tek ise $-$ olarak düşünebiliriz. Buradan da aslında bir diziyi aynı anda tek ve çift sayıda hamle kullanarak elde edemeyeceğimizi anlıyoruz. Sonuç olarak, $$1(2)(3)45\to 13(2)(4)5\to 13425$$ çift sayıda hamleyle elde edilir. $$(1)(2)345\to 21(3)(4)5\to 21435$$ çift sayıda hamle ile elde edilir. $$(1)2(3)45\to 3(2)14(5)\to 35142$$ çift sayıda hamle ile elde edilebilir. $$(1)234(5)\to 5(2)(3)41\to 53(2)4(1)\to 531(4)(2)\to 53124$$ çift sayıda hamle ile elde edilebilir. $$(1)23(4)5\to 4(2)(3)15\to 43(2)(1)5\to 43125$$ tek sayıda hamle ile elde edilir. Cevap $\boxed{43125}$ olmalıdır.
Test mantığıyla sadece denemeleri yapmak yetecektir.