Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2004 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 08, 2014, 10:26:14 ös

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 18
Gönderen: geo - Mayıs 08, 2014, 10:26:14 ös

Asal çarpanlarına ayrıldığında tüm asal çarpanlarının kuvvetleri tek sayı olan pozitif tam sayıların oluşturduğu küme, en çok kaç ardışık tam sayı içerir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 7
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 18
Gönderen: Metin Can Aydemir - Temmuz 20, 2022, 05:09:06 öö

Cevap: $\boxed{B}$

$8$'den fazla ardışık tam sayı içeremeyeceğini gösterelim. Eğer $8$ ardışık tam sayı varsa bu sayılar $8$'e bölündüğünde $0,1,2,\dots,7$ kalanları verir. $8$'e bölündüğünde $4$ kalanı veren sayının asal çarpanlarına ayrılmış halinde $2$'nin kuvveti $2$'dir. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla en fazla $7$ ardışık sayı içerebilir. $7$ için örnek durum bulalım. $$29,~~ 30~ (=2\cdot 3\cdot 5), ~~31,~~ 32 ~(=2^5), ~~33 ~(=3\cdot 11), ~~34 ~(=2\cdot 17),~~ 35~ (=5\cdot 7)$$ Dolayısıyla en fazla $7$ ardışık sayı olabilir.