Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2007 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Mayıs 07, 2014, 02:09:01 ös

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 32
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 07, 2014, 02:09:01 ös

$8\times 8$ bir satranç tahtasının birim karelerinden her birinin merkezine $0$ ve $1$ sayılarından birini yazıyoruz. Her satır, her sütun ve iki köşegenden birine paralel olup birim karelerin merkezlerinden geçen her doğru üstündeki sayıların toplamları çift ise, tahtaya yazılı bütün sayıların toplamı en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 32
\qquad\textbf{b)}\ 48
\qquad\textbf{c)}\ 52
\qquad\textbf{d)}\ 56
\qquad\textbf{e)}\ 64
$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 32
Gönderen: Lokman Gökçe - Temmuz 17, 2014, 05:56:13 ös

Yanıt: $\boxed{B}$

(http://geomania.org/forum/2007-164/tubitak-lise-1-asama-2007-soru-32/?action=dlattach;attach=13922;image)

Kesikli çizgilerle gösterilen köşegenlere paralel doğruların geçtiği karelerin sayısı $1,3,5,7$ şeklinde tek sayılardır. Örneğin $5$ karenin merkezinden geçen bir doğruyu göz önüne alalım. Bu karelerdeki sayıların toplamının çift sayı olması için karelerden en az birinde $0$ yazmalıdır. Bu yolla 16 tane doğru için, içine $0$ yazılan en az $16$ kare bulunur. Dolayısıyla tüm karelerdeki sayıların toplamı $\leq 64-16=48$ dir. Toplamın $48$ e eşit olduğu maksimum duruma örnek vardır. En uzun iki köşegendeki karelere $0$ yazmak yeterlidir.