Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2004 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 07, 2014, 12:25:00 öö
-
$a_1 = \sqrt 7$ ve $i \geq 1$ için $b_i = \lfloor a_i \rfloor$, $a_{i+1} = \dfrac 1{b_i - \lfloor b_i \rfloor}$ olsun. $b_n$ nin $4$ e bölünmesini sağlayan $2004$ ten büyük en küçük $n$ tam sayısı nedir?
$
\textbf{a)}\ 2005
\qquad\textbf{b)}\ 2006
\qquad\textbf{c)}\ 2007
\qquad\textbf{d)}\ 2008
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Bu soru iptal edilmiştir.
-
İptalin sebebi paydanın tanımsız olmasından mı kaynaklanıyor?
-
Payda sıfırlandığı için bu soru iptal edilmiştir. Sorunun yazarı bunu bilemeyecek kadar matematiğe uzak olamazdı elbette. Bu sorunun başına ne geldiği benim için de bir merak konusuydu. Fakat soruyu da toparlayamıyordum. ChatGPT 5.2 Thinking modelinden bu gizemi aydınlatmasını istedim. Burada küçücük bir harf yazımı hatası vardır ve onu düzeltirsek soru kurtuluyormuş. YZ'nin düzeltmesini ve yanıtını sunuyorum:
Düzeltilmiş Versiyon: $a_1 = \sqrt 7$ ve $i \geq 1$ için $b_i = \lfloor a_i \rfloor$, $a_{i+1} = \dfrac 1{a_i - \lfloor b_i \rfloor}$ olsun. $b_n$ nin $4$ e bölünmesini sağlayan $2004$ ten büyük en küçük $n$ tam sayısı nedir?
$ \textbf{a)}\ 2005 \qquad\textbf{b)}\ 2006 \qquad\textbf{c)}\ 2007 \qquad\textbf{d)}\ 2008 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $
Yanıt: $\boxed{A}$
Çözüm: Sorunun ana motivasyonu sürekli kesirler kavramıdır. $a_1=\sqrt7$ için $b_1=\lfloor \sqrt7\rfloor=2$ ve
$a_2=\dfrac{1}{\sqrt7-2}=\dfrac{\sqrt7+2}{3}$ olur. Buradan $b_2=\left\lfloor\dfrac{\sqrt7+2}{3}\right\rfloor=1$ olur.
Devam edelim:
$a_3=\frac{1}{a_2-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7+2}{3}-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7-1}{3}}
=\frac{3}{\sqrt7-1}
=\frac{\sqrt7+1}{2}$ olur ve dolayısıyla $b_3=1$.
$a_4=\frac{1}{a_3-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7+1}{2}-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7-1}{2}}
=\frac{2}{\sqrt7-1}
=\frac{\sqrt7+1}{3}$ olur ve dolayısıyla $b_4=1$.
$a_5=\frac{1}{a_4-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7+1}{3}-1}
=\frac{1}{\frac{\sqrt7-2}{3}}
=\frac{3}{\sqrt7-2}
=\sqrt7+2$ ve buradan $b_5=\lfloor \sqrt7+2\rfloor=4$.
Ayrıca $a_6=\frac{1}{a_5-\lfloor a_5\rfloor}
=\frac{1}{(\sqrt7+2)-4}
=\frac{1}{\sqrt7-2}
=\frac{\sqrt7+2}{3}
=a_2$. Demek ki dizi $a_2$'den itibaren periyodiktir ve $(b_2,b_3,b_4,b_5)=(1,1,1,4)$ dört adımda tekrar eder. Bu nedenle $b_n=4$ ancak ve ancak
$n\equiv 1 \pmod 4$ iken (ve $n\ge 5$) gerçekleşir. $2004\equiv 0\pmod4$ olduğundan $2004$'ten büyük ve $1 \pmod4$ olan en küçük tam sayı $2005$'tir.