Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2003 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 06, 2014, 09:32:31 ös
-
$\dfrac{4x^2}{1+4x^2}=y$, $\dfrac{4y^2}{1+4y^2}=z$, $\dfrac{4z^2}{1+4z^2}=x$ sistemini tam olarak kaç gerçel $(x,y,z)$ üçlüsü sağlar?
$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Yanıt: $\boxed{A}$
$x=0$ ise $(x,y,z)=(0,0,0)$ dır.
$x \neq 0$ ise
$\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{4z^2} + 1$
$\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4x^2} + 1$
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4y^2} + 1$
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4x^2} + 1 + \dfrac{1}{4y^2} + 1 + \dfrac{1}{4z^2} + 1$
$0 = \left (\dfrac{1}{2x}-1 \right )^2 + \left (\dfrac{1}{2y}-1 \right )^2 + \left (\dfrac{1}{2z}-1 \right )^2$
$2x = 2y = 2z = 1 \Rightarrow (x,y,z) = \left (\dfrac 12, \dfrac 12, \dfrac 12 \right )$.
-
Yanıt: $\boxed{A}$
$x$, $y$ ve $z$ 'den en az biri sıfır ise $(x,y,z)=(0,0,0)$ çözümü olur. Pozitif olduklarında ise
$$x+y+z=\sum_{cyc}{\dfrac{4x^2}{1+4x^2}}\overbrace{\leq}^{AGO} \sum_{cyc}{\dfrac{4x^2}{4x}}=x+y+z$$
olduğundan denklem sistemi ancak eşitlik durumunda oluşur, dolayısıyla $x=y=z=\dfrac{1}{2}$ olmalıdır.