Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2003 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 06, 2014, 09:28:10 ös

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 09
Gönderen: geo - Mayıs 06, 2014, 09:28:10 ös

İçteğet çemberinin yarıçapı $1$ ve her kenar uzunluğu bir tam sayı olan kaç üçgen vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz}
$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 09
Gönderen: geo - Ağustos 20, 2014, 01:46:15 ös

Yanıt: $\boxed{B}$

Bu şekilde tek üçgen $3-4-5$ üçgenidir.

Üçgenin kenarları $a\leq b \leq c$ olsun.

Heron formülünden $\sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} = ur = u \Rightarrow  (u-a)(u-b)(u-c) = u$ elde edilir.

$u = \dfrac{a+b+c}{2}$ tam sayı olmalı. Aksi takdirde sol taraf üç tane buçuklu sayının çarpımı iken sağ tarafın ondalık kısmı $,5$ olamaz.
Bu durumu şöyle de görmek mümkün. Eşitliğin her iki tarafını $8$ ile çarpıp $2$ leri içeriye dağıtalım. $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) = 4(a+b+c)$. $a+b+c$ tek olduğu için $a,b,c$ den tam olarak biri ya da üçü tek olmalı. Her durumda sol taraf tek olduğu için, çelişki elde etmiş olduk.

Soruya geri dönersek, $(u-a)(u-b)(u-c) = u = u-a + u-b+ u-c \leq 3(u-a) \Rightarrow (u-c)^2 \leq (u-b)(u-c) \leq 3$ olduğu için $u-c=1$ olmalı.
Bu da $u-c=r=1$, yani $\angle C= 90^\circ$ olduğu anlamına gelir. Bu durumda, $u-b=2$ ya da $u-b=3$ tür.
İki durumda da üçgen $3-4-5$ üçgeni olacaktır.