Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2008 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Mayıs 05, 2014, 07:42:17 ös
-
Eğer $n$ pozitif tamsayısına bölünen her tamsayı, basamaklarının yerleri nasıl değiştirilirse değiştirilsin yine $n$ ye bölünüyorsa, $n$ ye "iyi" sayı diyelim. Kaç iyi sayı vardır?
$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz Sayıda}
$
-
İlk önce bir basamaklılarla çalışalım.
Bölünebilme kuralları dolayısıyla $n = 1 , 3 , 9$ sayılarının şartı sağladığı açıktır. Mesela $5$ sayısı sağlamaz. Çünkü $5|15$ iken $5$ sayısı $51$ i bölemez.
$n$ sayısı iki basamaklı olursa $n = ab$ iken $ab$ sayısı $ab0$ sayısını bölecektir fakat $b0a$ sayısını bölemeyecektir. Bunu $2,3,..$ basamaklar için gösterebiliriz. O halde sorumuzun cevabı $3$ dür.
-
$n$ sayısı iki basamaklı olursa $n = ab$ iken $ab$ sayısı $ab0$ sayısını bölecektir fakat $b0a$ sayısını bölemeyecektir. Bunu $2,3,..$ basamaklar için gösterebiliriz.
$37\mid703$
-
$n$ sayısı iki basamaklı olursa $n = ab$ iken $ab$ sayısı $ab0$ sayısını bölecektir fakat $b0a$ sayısını bölemeyecektir. Bunu $2,3,..$ basamaklar için gösterebiliriz.
$37\mid703$
ab sayısı ab0 ı bölse ve b0a yı bölse bile 0ba yı bölemez hocam kaçış yok :D Benim çözüm biraz test usulü çözüm oldu. En genel halde bu soruyu nasıl çözebiliriz peki hocam ?
-
Yanıt: $\boxed A$
Bir basamaklı sayılarda şartı sağlayan sayıların yalnızca $1,3,9$ olduğunu görmek kolaydır.
En az iki basamaklı $n$ sayısının şartı sağladığını kabul edelim.
i) $n$ sayısının son basamağı $0$ olsun. Bu durumda $n$ nin basamaklarının yerini değiştirip son basamağı $0$ olmayan bir $n'$ sayısı oluşturursak $10\mid n\mid n'$ olur. Ancak $n'$ nün son basamağı $0$ olmadığından $10\nmid n'$. Çelişki
ii) $n$ sayısının son basamağı $a\neq0$ olsun. Diğer tüm basamaklarını da $K$ ile gösterelim. $n=Ka=10K+a$
$n\mid Ka0, n\mid K0a \Longrightarrow n\mid Ka0-K0a \Longrightarrow n\mid9a$
$a$ bir rakam olduğundan şartı sağlayan $n$ sayısı $18,27,36,45,54,63,72,81$ sayılarının bölenlerinden biri olabilir.
Bu sayıların en az iki basamaklı bölenlerinin kümesi $\{18,27,12,36,15,45,54,21,63,24,72,81\}$ dir. Ancak bu sayılardan hiçbiri, basamaklarının yerleri değiştirilince meydana gelen iki basamaklı sayıyı bölmez.
Yani şartı sağlayan en az iki basamaklı sayı yoktur.
Dolayısıyla şartı sağlayan yalnızca üç pozitif tamsayı vardır: $1,3,9$.