Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:07:38 ös

Başlık: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:07:38 ös

1. Rakamları birbirinden farklı ve birbirinin ters sırada yazılışı olan iki tane üç basamaklı sayının toplamı olarak yazılabilen sayılara Gizemli Sayı diyelim. Kaç tane Gizemli sayı vardır?

$
\textbf{a)}\ 142
\qquad\textbf{b)}\ 120
\qquad\textbf{c)}\ 162
\qquad\textbf{d)}\ 153
\qquad\textbf{e)}\ 136
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:09:41 ös

2. $\dfrac{13^n+2}{3}$ ifadesinin tam kare olmasını sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\text{Sonsuz çoklukta}
$

Çözüm: $\dfrac{13^n+2}{3} \equiv 5 \pmod{13}$ olup $\pmod{13}$ de kare kalanlar $0, \pm{1} , \pm{3} , \pm{4} $ olduğundan bu ifadenin tam kare olmasını sağlayan $n$ pozitif tam sayısı yoktur.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:11:09 ös

3.  $x^5+5y^5=z^6$ denkleminin pozitif tamsayılarda kaç çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\text{Sonsuz çoklukta}
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:17:28 ös

4. $|AB|=15 , |BC|=18$ ve $|CA|=21$ olan $ABC$ üçgeninin iç bölgesinden bir $D$ noktası alınıyor.

$[AD], [BD]$ ve $[CD]$ nin orta noktaları sırasıyla $E, F$ ve $G$ olsun.

$[AF]$ ile $[BE]$ nin kesişimi $H$, $[BG]$ ile $[CF]$ nin kesişimi $K$ ve $[CE]$ ile $[AG]$ nin kesişimi de $L$ ise, $EHFKGL$ dörtgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 20\sqrt{6}
\qquad\textbf{b)}\ 18\sqrt{6}
\qquad\textbf{c)}\ 21\sqrt{6}
\qquad\textbf{d)}\ 15\sqrt{6}
\qquad\textbf{e)}\ 16\sqrt{6}
$


Çözüm: $H,K,L$ noktaları sırasıyla $ADB , BDC , CDA$ üçgenlerinin ağırlık merkezleridir.Buradan

  $[DEHF] = \dfrac{[ADB]}{3}$
  $[DFKG] = \dfrac{[BDC]}{3}$
  $[DGLE] = \dfrac{[CAD]}{3}$
+_____________________

$[EHFKGL] = \dfrac{[ADB]+[BDC]+[CAD]}{3}=\dfrac{[ABC]}{3}$ olur.

Heron formülünden $[ABC]=54\sqrt{6}$ olup, $[EHFKGL]=18\sqrt{6}$ dır.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:21:14 ös

5.  Her $x,y\neq 0$ için $x \left [f(xy)-f(x) \right ]+f(-y)=0$ ve $f(2)=3$ eşitliklerini sağlayan $f$ fonksiyonu için, $f\left ( \dfrac{1}{10} \right )$ değeri kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 15
\qquad\textbf{d)}\ 22
\qquad\textbf{e)}\ 24
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:23:51 ös

6.  $15$ özdeş matematik ve $5$ özdeş fizik kitabı, herhangi iki fizik kitabı arasında en az iki matematik kitabı olması koşuluyla bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?

$
\textbf{a)}\ 792
\qquad\textbf{b)}\ 796
\qquad\textbf{c)}\ 812
\qquad\textbf{d)}\ 714
\qquad\textbf{e)}\ 786
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:27:41 ös

7.  $S=1^{2}+2^{2}+3^{2}-4^{2}-5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}-9^{2}-10^{2}+\cdots +101^{2}+102^{2}+103^{2}-104^{2}-105^{2}$ toplamının $25$ e bölümünden kalan kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

Çözüm: $$A=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+9^2+10^2+\cdots+103^2+104^2+105^2 \tag{1}$$
$$S=1^2+2^2+3^2-4^2-5^2+6^2+7^2+8^2-9^2-10^2+\cdots +103^2-104^2-105^2 \tag{2}$$

$(1)-(2)$ den

$A-S = 2 \cdot \left [4^2+5^2+9^2+10^2+14^2+15^2+\cdots+104^2+105^2 \right ] \tag{3}$

$(3)$ ifadesindeki ikinci terimler $25$'e bölünürler. Buna göre, $A-S\equiv 2 \cdot \left [4^2+9^2+14^2+\cdots+104^2 \right ]$ dir.

$S\equiv \dfrac{105.106.211}{6}-2 \cdot \left [(5-1)^2+(10-1)^2+\cdots+(105-1)^2 \right]$

$S\equiv 5-2\cdot \left [-10(1+2+\cdots+21)+21 \right] \Rightarrow S\equiv 5-2 \cdot (-10.21.11+21) \equiv 5-(-3)=8$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:31:55 ös

8.  $f(x)=(x^{2}-x-5)(x^{2}+2)(x^{2}+5x+3)$ fonksiyonunun grafiği üzerinden, bir parabol üzerinde olacak biçimde altı tane nokta seçilirse, bu noktaların apsislerinin kareleri toplamı kaç olur? (Parabol  $y=ax^2+bx+c , a\neq 0 $ formundaki eğrinin grafiğidir).

$
\textbf{a)}\ 23
\qquad\textbf{b)}\ 27
\qquad\textbf{c)}\ 26
\qquad\textbf{d)}\ 25
\qquad\textbf{e)}\ 29
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:34:44 ös

9. $x^{3}-3x^{2}+6x+13=0$ ve $y^{3}+6y^{2}+15y+31=0$ denklemlerini sağlayan $x$ ve $y$ reel sayıları için $x-y$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

Çözüm: $x^{3}-3x^{2}+6x+13=0 \Rightarrow (x-1)^3+3x+14=0 \tag{1}$

$y^{3}+6y^{2}+15y+31=0 \Rightarrow (y+2)^3+3y+23=0 \tag{2}$

$(1)$ ve $(2)$ denklemlerini birbirinden çıkartıp iki küp farkı özdeşliğini kullanarak

$(x-y-3)\left [ (x-1)^2+(y+2)^2+(x-1)(y+2)+3) \right ]=0$ denklemine ulaşılır. Bu denklemden $x-y=3$ bulunur.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:38:21 ös

10.

(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=4036.0;attach=13565;image)

Kenar uzunlukları $2\sqrt{2}$ ve $7\sqrt{2}$ olan bir $ABCD$ dikdörtgeninin çevresine, şekildeki gibi $KLMN$ dikdörtgeni çiziliyor. $KLMN$ dikdörtgeninin alanı kaç farklı tamkare değeri olabilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 1
$


Çözüm: $|ND|=|BL|=a , |AN|=|LC|=b , |AK|=|CM|=x , |BK|=|DM|=y$ olarak kodlayalım. Pisagor teoreminden, $$x^2+y^2=8 , a^2+b^2=98 \tag{1}$$ denklemleri yazılabilir.

$A(KLMN)=(a+y)(b+x)=(ab+xy)+(ax+by) \tag{2}$ dir.

AGO eşitsizliğinden $ab \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$  ve  $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}$ dir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden $(ax+by) \leq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$  dir.

Bunları $(2)$ ifadesine uygularsak $$A(KLMN)=(ab+xy)+(ax+by) \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{x^2+y^2}{2}+\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$$
bulunur. $(1)$ 'deki denklemleri $(2)$ de kullanırsak $A(KLMN) \leq 81$ olur ve ayrıca $A(KLMN) > A(ABCD)$ olduğundan,

$28 < A(KLMN) \leq 81$  aralığında $4$ farklı tamkare değer alabilir.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:42:23 ös

11. $x$ bir reel sayı ve, $$A(x)=(x+2)^{5}+(x+2)^{3}(x-2)^{2}+(x+2)(x-2)^{4}$$, $$B(x)=(2-x)^{5}+(2-x)^{3}(2+x)^{2}+(2-x)(2+x)^{4}$$ olmak üzere $A(x)=B(x)$ denkleminin çözüm sayısı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 5
$

Çözüm: $x+2=a , 2-x=b$ değişken değiştirmesi yaparak, $$a^5+a^3b^2+ab^4 = b^5+a^2b^3+a^4b$$ denklemini düzenleyelim.

$$a^5-a^4b+a^3b^2 -a^2b^3+ab^4-b^5=0$$  $$a^4(a-b)+a^2b^2(a-b)+b^4(a-b)=0 $$  $$(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)=0$$  $$(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=0 $$ buradan orijinal denkleme geçelim. $$2x\cdot(3x^2+4)\cdot(x^2+12)=0$$ bu eşitlik sadece $x=0$ reel sayısı için sağlanmaktadır.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:46:11 ös

12. $A=\left \{ 1,2,3,\cdots ,18,19 \right \}$ ve $B=\left \{8,14,18  \right \}$ olmak üzere $A\setminus B$ kümesinin elemanlarıyla, ardışık iki sayı içermeyen kaç alt küme oluşturulabilir?

$
\textbf{a)}\ 2380
\qquad\textbf{b)}\ 3640
\qquad\textbf{c)}\ 4420
\qquad\textbf{d)}\ 3960
\qquad\textbf{e)}\ 4230
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:53:22 ös

13. 

(http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=4036.0;attach=13566;image)

$5 \times 5$ şeklindeki bir karenin, her $1 \times 1$ karesinin içine $1,2,4,6,8$ rakamları yazılacaktır.Çift olan herhangi bir rakamın yanyana ve çift sayıda bulunması koşuluyla, $5 \times 5$ karesi kaç farklı şekilde doldurulabilir? (Çift olan herhangi bir rakamın yukarıdan aşağıya çift sayıda olması gerekmiyor. Yukarıda bir örnek doldurma verilmiştir.)

$
\textbf{a)}\ 65^5
\qquad\textbf{b)}\ 29^5
\qquad\textbf{c)}\ 45^5
\qquad\textbf{d)}\ 6^{10}
\qquad\textbf{e)}\ 5\cdot 29^5
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 04:56:23 ös

14. $S=\left \{ 1,2,3,\cdots ,999,1000 \right \}$ kümesindeki sayılardan kaç tanesi, $n=7^{999!}-5^{999!}$ farkını böler?

$
\textbf{a)}\ 518
\qquad\textbf{b)}\ 624
\qquad\textbf{c)}\ 686
\qquad\textbf{d)}\ 720
\qquad\textbf{e)}\ 735
$

Çözüm: $\left (5,7 \right ) = 1$ olduğundan, $$ 7^4 \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow 7^{999!} \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow 7^{999!}-5^{999!} \equiv 1 \pmod{5}$$
$$5^6 \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow 5^{999!} \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow 7^{999!}-5^{999!} \equiv -1 \pmod{7}$$

olduğundan $5$ ve $7$ nin katları dışındaki $\forall {p}\in S$ sayısı için Euler fonksiyonundan, $7^{999!} =7^{\varphi (p)} \equiv 1 \pmod{p}$ ve $5^{999!} =5^{\varphi (p)} \equiv 1 \pmod{p}$  denklikleri sağlanır.Buna göre;

$$1000-\left (\left \lfloor \dfrac{1000}{7} \right \rfloor+\left \lfloor \dfrac{1000}{5} \right \rfloor-\left \lfloor \dfrac{1000}{35} \right \rfloor \right )=686$$ adet sayı verilen ifadeyi böler

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:00:26 ös

15. $a,b,c$ birbirinden farklı negatif olmayan tam sayılar olmak üzere, $3^a+3^b+3^c$ formundaki sayıları, küçükten büyüğe doğru sıralarsak, $101$'inci sayı için  $a+b+c$ toplamı kaç olur?

$
\textbf{a)}\ 18
\qquad\textbf{b)}\ 17
\qquad\textbf{c)}\ 19
\qquad\textbf{d)}\ 16
\qquad\textbf{e)}\ 15
$

Çözüm: $3^n > 3^{n-1}+3^{n-2}+\cdots+1$ olacağından kuvvetlerin değerine göre sıralama yapacağız.

En büyük elemanı $3^2$ olan sayı için $\left \{3^0 , 3^1 \right \}$ kümesindeki elemanlar ile $\binom {2}{2}=1$ sayı yazılır.Benzer şekilde düşünerek,

$3^3$ için $\left \{3^0, 3^1, 3^2 \right \}$ kümesinden $\binom{3}{2}=3$

$3^4$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3 \right \}$ kümesinden $\binom{4}{2}=6$

$3^5$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4 \right \}$ kümesinden $\binom{5}{2}=10$

$3^6$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5 \right \}$ kümesinden $\binom{6}{2}=15$

$3^7$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6 \right \}$ kümesinden $\binom{7}{2}=21$

$3^8$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, 3^7 \right \}$ kümesinden $\binom{8}{2}=28$

Buraya kadar yazılan sayı adedi: $3+6+10+15+21+28=84$ tanedir.

$3^9$ için $\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6, 3^7, 3^8 \right \}$ kümesinden $\binom{9}{2}=36$ sayı yazılır.

Bu sayılardan $17.$ sırada yazılanı bulacağız.$\left \{3^0 , 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5 \right \}$ kümesinden $\binom{6}{2}=15$ sayı

yazabiliriz. O halde $16.$ sayı $3^6$ nın kullanıldığı $3^0+3^6+3^9$ olup $17.$ sayı $3^1+3^6+3^9$ dir.

İstenen toplam $1+6+9=16$ dır. 

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:10:19 ös

16. $S=\sum_{k=0}^{9}\left ( \left \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^{k}} \right \rfloor +\left \lfloor \dfrac{3^{20}}{3^{10}+3^{20-k}} \right \rfloor \right )$ toplamının  $9$' a bölümünden kalan kaçtır? (Burada $\left \lfloor x \right \rfloor$ ifadesi, $x$ sayısının tamdeğerini göstermektedir).

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 0
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:30:29 ös

17. $a_{1},a_{2},a_{3},\cdots$ pozitif sayıları, her $n \in \mathbb{N}$ için, $a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^2+1}$ eşitliğini sağlıyor. Eğer, $a_{2^k}=3\cdot a_{k}$ eşitliği sağlanacak şekilde bir $k \in \mathbb{N}$ değeri bulunuyorsa, $a_{11}$  değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 5\sqrt{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5\sqrt{2}}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\sqrt{2}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11\sqrt{2}}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9\sqrt{2}}{4}
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:37:07 ös

18. Pascal üçgeninin ''Şehrazad Satırı'' diye adlandırdığımız, $$1,1001, \cdots ,1001,1$$ şeklindeki, $1001$'inci satırındaki sayılardan kaç tanesi $5$'e bölünmez?

$
\textbf{a)}\ 48
\qquad\textbf{b)}\ 16
\qquad\textbf{c)}\ 24
\qquad\textbf{d)}\ 36
\qquad\textbf{e)}\ 30
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:41:55 ös

19. $ABCD$ kirişler dörtgeninde $[AC]$ve $[BD]$ köşegenlerinin kesişim noktası $E$ olsun. $|AB|=|BC|=|CA| , |BE|=20$ ve $|ED|=5$ olduğuna göre, $|AB|$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 13\sqrt{5}
\qquad\textbf{b)}\ 9\sqrt{5}
\qquad\textbf{c)}\ 10\sqrt{5}
\qquad\textbf{d)}\ 12\sqrt{5}
\qquad\textbf{e)}\ 11\sqrt{5}
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:44:55 ös

20. $ABCD$ dışbükey dörtgeninde, $m\left ( \widehat{BAC} \right )=40^{\circ}, m\left ( \widehat{ABD} \right )=m\left ( \widehat{CBD} \right )=20^{\circ}$ ve $m\left ( \widehat{CAD} \right )=100^{\circ}$ olduğuna göre $m\left ( \widehat{BDC} \right )$ kaç derecedir?

$
\textbf{a)}\ 18^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 12^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 10^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 5^\circ
$

Çözüm: $ABC$ üçgenine eş olan $ADE$ üçgeni çizelim ( $C$ ile $E$, $BD$ nin aynı tarafında olsun). $ACE$ eşkenar üçgen olacaktır.

Buna göre, $BDEC$ dörtgeni $|BC|=|CE|=|ED|$ ve $\angle{DBC}=\angle{BDE}=20^\circ$ olan ikizkenar yamuk (kirişler dörtgeni) olduğundan,

$\angle{BDC}=\angle{EDC}=10^\circ$ dir.   

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:50:38 ös

21.  $f(x)=x^{4}+3x^{3}+4x^{2}-5$ ve $g(x)=x^{4}-x^{3}-4x^{2}+5$ olmak üzere, $0<x\leq p$ koşulunu sağlayan bir $x$ tamsayısı için, $p$ asal sayısı $f(x)$ ve $g(x)$ i bölmektedir.Buna göre, $p$ asal sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
 
$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 15
\qquad\textbf{c)}\ 26
\qquad\textbf{d)}\ 21
\qquad\textbf{e)}\ 19
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:52:16 ös

22. Tüm terimleri tamsayılar olan ve ilk $10$ terim içinde $1$ ve $31$ bulunan kaç farklı aritmetik dizi vardır?

$
\textbf{a)}\ 54
\qquad\textbf{b)}\ 66
\qquad\textbf{c)}\ 68
\qquad\textbf{d)}\ 60
\qquad\textbf{e)}\ 50
$

Çözüm: $d$ bu aritmetik dizinin ortak farkı olsun. $d \mid (31-1) \Rightarrow d \mid 30$ olur.Buna göre $ d \in \left \{1,2,3,5,6,10,15,30 \right \}$ dir.

$ i=\dfrac{30}{d}$ olmak üzere, bu terimler $a_{k} , a_{k+i} , (k \in \mathbb {N}^+)$ şeklinde dizilirler.

$d=30 \Rightarrow i=1$ dir. Terimler $a_{k} , a_{k+1}$ şeklinde, yani ardışık yerleştirilebilir. Mevcut durumların sayısı $9.2=18$

Benzer şekilde düşünerek, $d=15,10,6,5$ değerleri için sırasıyla $16,14,10,8$ durum olduğunu görebiliriz.

Toplam durum sayısı: $66$ dır.

   

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:53:50 ös

23. $m^4=n(9m-2n)$ denklemini sağlayan kaç $(m,n)$ tamsayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 1
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

Çözüm: Verilen eşitliği $n$ değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem olarak $2n^2-9mn+m^4=0$ yazalım. $n$ in tamsayı değerleri için denklemin diskriminantı tamkare olmalıdır.

$\Delta = 81m^2-8m^4=m^2(81-8m^2)=x^2 \Rightarrow 81-8m^2=y^2$ olmalıdır.

$81-8m^2=y^2$ ifadesinde $y^2>0$ olduğundan, $m^2 < \dfrac{81}{8} \Rightarrow -3\leq m \leq 3$ olur.

$m= \left \{-3,-2,-1,0,1,2,3 \right \}$ değerlerini verilen denklemde deneyelim.

$m=-3 \Rightarrow n=-9/2 , n=-9$
$m=-2 \Rightarrow n=-1 , n=-8$
$m=-1 \Rightarrow n\notin \mathbb{Z}$
$m=0 \Rightarrow n=0 $
$m=1 \Rightarrow n\notin \mathbb{Z}$
$m=2 \Rightarrow n=1, n=8$
$m=3 \Rightarrow n=9/2 , n=9$

Buna göre verilen eşitliği sağlayan tamsayı ikilileri $\left \{(-3,-9),(-2,-8),(-2,-1),(0,0),(2,8),(2,1),(3,9) \right \}$ olup $7$ tanedir.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 05:57:51 ös

24. $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyonu kesin azalan bir fonksiyon olmak üzere, her $x\in \mathbb{R}^{+}$ için $$f(x)\cdot f\left ( f(x)+\dfrac{3}{2x} \right )=\dfrac{1}{4}$$ olduğuna göre, $f(9)=?$

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{12}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{6}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1}{3}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1}{4}
$

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: ERhan ERdoğan - Mayıs 04, 2014, 06:02:03 ös

25. Bir $ABC$ üçgeninde $m\left ( \widehat{BAC} \right )=50^{\circ} , |AB|=7$ ve $|AC|=3\sqrt{3}$ tür. $D, [AB]$ üzerinde, $E$ ise $[AC]$ üzerinde noktalar olmak üzere, $|BE|+|CD|+|DE|$ toplamının alabileceği minimum değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \sqrt{140}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt{135}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt{139}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{136}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{142}
$


Çözüm:

$C$ nin $AB$ ye göre simetriği $C'$, $B$ nin $AC$ ye göre simetriği $B'$ olsun. $\angle B'AC' = 150^\circ$ olur.
$EC'=EC$ ve $B'D=BD$ olduğu için $ED+CE+BD=C'E+ED+DB'$ dür. $\min (C'E + ED + DB') = C'B'$
$\triangle B'AC'$ de, Kosinüs Teoreminden $B'C'^2 = AC'^2 + AB'^2 - AC' \cdot AB' \cdot \cos 150^\circ \Rightarrow B'C'=\sqrt{139}$ elde edilir.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: atillasansar - Mayıs 05, 2014, 09:32:37 ös

İYİ ÇALIŞMALAR...

çözüm19.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: atillasansar - Mayıs 05, 2014, 09:38:13 ös

İYİ ÇALIŞMALAR...

çözüm20.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: yusufipek - Mayıs 06, 2014, 12:37:35 öö

çözüm6.

Önce Fizik kitaplarını tek yolla yerleştirelim. $–F-F-F-F-F-$ şeklinde olsun. Şimdi $–$ olan yerlere Matematik kitaplarını dağıtalım.

Bu ise; $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}=15 , x_{2},x_{3},x_{4},x_{5} \geq 2$ dağılımı ile özdeştir $\binom{7+6-1}{6-1}=792$ olur.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: yusufipek - Mayıs 06, 2014, 10:25:39 ös

çözüm2.

$\dfrac{13^{n}+2}{3}=k^2 \Rightarrow 13^n+2=3k^2$ olur. $3k^2 \equiv 0,\pm1 , \pm3 , \pm4 \pmod{13}$ olup eşitliğin sol tarafı

$\pmod{13}$ de $2$ ye denk olduğundan bu koşulu sağlayan $n$ tamsayısı yoktur. 

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: yusufipek - Mayıs 06, 2014, 10:53:12 ös

çözüm-5

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları 17.soru
Gönderen: yusufipek - Mayıs 07, 2014, 12:12:31 öö

çözüm17.

$n=1$ yazılırsa $a_{2}^2-a_{1}^2=1$ ve $k=1$ yazılırsa, $a_{2}=3a_{1}$ olur ve bu eşitliklerden $a_{1}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$ bulunur. $a_{n+1}^2-a_{n}^2=1$ eşitliği kullanılırsa $a_{11}^2 - a_{1}^2=10$ olup $a_{11}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4}$ dür.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: yusufipek - Mayıs 07, 2014, 10:53:57 ös

çözüm8.

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}x_{2} = 1^2-2.(-5)=11$

$x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=(x_{3}+x_{4})^2-2x_{3}x_{4} = 0^2-2.2=-4$

$x_{5}^{2}+x_{6}^{2}=(x_{5}+x_{6})^2-2x_{5}x_{6} = (-5)^2-2.3=19$

ifadelerini toplarsak , $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2} = 11-4+19=26$ bulunur.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: osman211 - Mayıs 11, 2014, 07:06:03 ös

21. sorunun çözümü


iki polinomun farkını alırsak   

* 4x³+8x²-10

toplamını alırsak

* 2x⁴+2x³


eğer x=p durumunu ele alırsak   p asalı butun x sayılarını boler geriye 5 kalcağı için p=5 birinci durum


simdi  eğer  p>x ise

pI x³(2x+2) --------->  ancak p sayisi x i bolemicek burdan   pI2x+2 olur   x=-1(mod p) olur

yazarsak deklemden    pI3 olur  burdan ikinci p=3  olarak bulunur   

3+5=8 yapar

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: Eray - Mayıs 31, 2014, 01:38:18 ös

Çözüm 3:

Yanıt: $\boxed{E}$

$x=6, y=6, z=6$ için $6^5 + 5.6^5 = 6^6$, denklem sağlanır. Eşitliğin her iki tarafını $OKEK(5,6)=30$ olduğu için $n^{30}$ ile çarparsak, $6^5\cdot n^{30} + 5\cdot6^5\cdot n^{30}=6^6\cdot n^{30} \Longrightarrow (6\cdot n^6)^5 + 5\cdot(6.n^6)^5=(6\cdot n^5)^6$ olur.
Yani, $x=6\cdot n^6$, $y=6\cdot n^6$, $z=6\cdot n^5$ şeklinde sonsuz çoklukta çözüm vardır.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: Eray - Mayıs 31, 2014, 02:29:41 ös

Çözüm 12:

Yanıt: $\boxed{C}$

Lemma: $\{1,2,\cdots, n\}$ kümesinin elemanlarından, ardışık $2$ sayı içermeyecek şekilde $r$ tanesi $\binom{n-r+1}{r}$ şekilde seçilebilir.

İspat: Eleman kümede varsa $1$, yoksa $0$ ile gösterilsin. Örneğin $\{1,2,3,4,5\}$ kümesinden seçilen $\{1,3,5\}$ altkümesi $[1,0,1,0,1]$ ile gösterilir.
$r$ eleman seçileceğine göre $r$ adet $1$, dolayısıyla $n-r$ adet $0$ kullanılacaktır. Bizim bulmak istediğimiz sayı ise, bu $r$ adet $1$ ve $n-r$ adet $0$'ın, ardışık iki $1$'in yan yana gelmemesi koşuluyla düz bir sıraya kaç farklı şekilde dizilebildiğidir.
$0$'lar dizildiğinde, $1$'ler baş ve son dahil aralarındaki $n-r+1$ boşluğa gelebilir. Bu $n-r+1$ boşluktan $r$ tanesi ise $\binom{n-r+1}{r}$ şekilde seçilebilir.

$A\setminus B = \{1,2,3,4,5,6,7\} \cup \{9,10,11,12,13\} \cup \{15,16,17\} \cup \{19\}$

Bu $4$ ayrık kümenin her birinin elemanlarıyla, ardışık $2$ sayı içermeyecek şekilde kaç altküme oluşturulabileceğini bulmalıyız.

$\{1,2,3,4,5,6,7\} \rightarrow$ Küme $7$ elemanlıdır. Ardışık iki sayı içermeyen $5$ eleman seçilemeyeceği açıktır. Sırasıyla, $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ eleman seçilmesi durumları için, $\binom{n-r+1}{r}$ formulü kullanılırsa, $\binom{8}{0}+\binom{7}{1}+\binom{6}{2}+\binom{5}{3}+\binom{4}{4}=1+7+15+10+1=34$'tür.

$\{9,10,11,12,13\} \rightarrow$ Küme $5$ elemanlıdır. Yukarıdaki işlem aynı şekilde uygulanırsa sırasıyla $0$, $1$, $2$, $3$ eleman seçilmesi için $\binom{6}{0}+\binom{5}{1}+\binom{4}{2}+\binom{3}{3}=1+5+6+1=13$'tür.

$\{15,16,17\} \rightarrow$ Küme 3 elemanlıdır. Aynı şekilde, sırasıyla $0$, $1$, $2$ eleman seçilmesi için $\binom{4}{0}+\binom{3}{1}+\binom{2}{2}=1+3+1=5$'tir.

$\{19\} \rightarrow$ Kümenin içerdiği tek eleman vardır ya da yoktur, yani $2$ durum vardır.

Yani soruda belirtilen $A\setminus B$ kümesinden, iki ardışık sayı içermeyecek şekilde oluşturulabilecek altküme sayısı $34\cdot13\cdot5\cdot2=4420$'dir.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: Eray - Mayıs 31, 2014, 02:57:51 ös

Çözüm 18:

Yanıt: $\boxed{B}$

Lucas Teoremi'ne göre, $\binom{n}{r}$ sayısının $p$ asal sayısına bölünmemesi için gerek ve yeter şart; $r$ sayısının, $n$ sayısının $p$'nin mümkün olan en büyük kuvvetlerinin toplamı şeklindeki yazılımındaki terimlerin herhangi birkaçının toplamı şeklinde olmasıdır. ($p$'lik taban kastedilmektedir)

Örneğin, $\binom{7}{r}$ sayısının kaç tane $r$ sayısı için $3$'e bölünmediğini bulalım. $7$ sayısı $3$'ün en büyük kuvvetlerinin toplamı şeklinde $3^1+3^1+3^0$ olarak yazılır. $3,3,1$ sayılarından oluşabilecek farklı toplamların sayısını bulmalıyız. $3$ sayısını $0$, $1$ ya da $2$ adet kullanabiliriz ($3$ durum). $1$ sayısını ise $0$ ya da $1$ adet kullanabiliriz ($2$ durum). Yani toplamda, $3\cdot2=6$ adet $r$ sayısı için $\binom{7}{r}$ sayısı $3$'e bölünmez. Kontrol edilirse, gerçekten de $\binom{7}{0}$, $\binom{7}{1}$, $\binom{7}{2}$, $\binom{7}{5}$, $\binom{7}{6}$, $\binom{7}{7}$ olmak üzere $6$ adet $\binom{7}{r}$ sayısı $3$'e bölünmez.

Şimdi, bizden istenen şey olan $\binom{1001}{r}$ sayısının kaç tane $r$ sayısı için $5$'e bölünmediğini bulalım. $1001$ sayısı $5$'in en büyük kuvvetlerinin toplamı şeklinde $5^4+5^3+5^3+5^3+5^0$ olarak yazılır. $625,125,125,125,1$ sayılarından oluşabilecek farklı toplamların sayısı için, $625$ sayısı $0$ ya da $1$ kez olmak üzere $2$ farklı şekilde, $125$ sayıları $0$, $1$, $2$ ya da $3$ kez olmak üzere $4$ farklı şekilde, $1$ sayısı ise yine $0$ ya da $1$ kez olmak üzere $2$ farklı şekilde kullanılabilir. $r$ sayılarının toplam sayısı $2\cdot4\cdot2=16$'dır.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: Lokman Gökçe - Mayıs 31, 2014, 03:00:25 ös

Çözüm 12 (2. yol):

Yanıt: $\boxed{C}$

Lemma: $\{1,2,\cdots, n\}$ kümesinin elemanlarından, ardışık iki sayı içermeyecek şekilde $f_{n+2}$ tane alt kümesi vardır. Burada $(f_n)=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, \dots )$ şeklindeki Fibonacci dizisidir.

İspatı indirgemeli diziler kullanılarak kolaylıkla yapılabilir. Şimdi problemimize dönelim:

$A\setminus B = \{1,2,3,4,5,6,7\} \cup \{9,10,11,12,13\} \cup \{15,16,17\} \cup \{19\}$  dir. Burada gördüğümüz $4$ ayrık kümenin eleman sayıları $7,5,3,1$ olduğundan, her bir ayrık küme için oluşturulabilecek ardışık eleman bulundurmayan alt küme sayılarını çarpmalıyız. Yani cevabımız $f_9 \cdot f_7 \cdot  f_4 \cdot f_3 = 34 \cdot 13\cdot 5 \cdot 2 = 4420$ olur.

Başlık: Ynt: 19. UAMO (2014) Birinci Aşama Sınavı Soruları
Gönderen: Eray - Mayıs 31, 2014, 04:52:45 ös

Çözüm 24:

Yanıt: $\boxed{A}$

Verilen eşitlikte $x$ yerine $9$ yazılırsa, $f(9)\cdot f\left(f(9)+\dfrac{3}{18}\right)=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow f\left(f(9)+\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{1}{4\cdot f(9)}$
Bu sefer verilen eşitlikte $x$ yerine $f(9)+\dfrac{1}{6}$ yazılırsa, $f\left( f(9)+\dfrac{1}{6} \right) \cdot f \left[ f\left(f(9)+\dfrac{1}{6}\right) + \dfrac{3}{2\cdot\left(f(9)+\dfrac{1}{6}\right)}\right]=\dfrac{1}{4}$
$\Longrightarrow \dfrac{1}{4\cdot f(9)} \cdot f\left(\dfrac{1}{4\cdot f(9)}+\dfrac{9}{6\cdot f(9)+1}\right)=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow f\left(\dfrac{1}{4\cdot f(9)}+\dfrac{9}{6\cdot f(9)+1}\right)=f(9)$
Fonksiyon kesin azalan olduğundan birebirdir. O halde $\dfrac{1}{4\cdot f(9)}+\dfrac{9}{6\cdot f(9)+1}=9$'dur.
Düzenlenirse, $216f^2(9)-6f(9)-1=0 \Longrightarrow \left(12f(9)-1\right)\cdot\left(18f(9)+1\right)=0 \Longrightarrow f(9)=\dfrac{1}{12}$ veya $f(9)=-\dfrac{1}{18}$'dir.
$f(9)=-\dfrac{1}{18}$ olsun. Verilen eşitlikte $x$ yerine $9$ yazılırsa $f(9)\cdot f\left(f(9)+\dfrac{3}{18}\right)=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow -\dfrac{1}{18} \cdot f\left(\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow f\left(\dfrac{1}{9}\right)=-4,5$ bulunur. Ancak fonksiyon kesin azalandır ve $\dfrac{1}{9} < 9$ olduğundan $-4,5>-\dfrac{1}{18}$ olmalıdır. Çelişki.
O halde $f(9)=\dfrac{1}{12}$'dir.