Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2002 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 04, 2014, 11:55:23 öö
-
$\{1, 2, \dots , n\}$ kümesinin, $1\leq r \leq n$ olmak üzere, $r$ elemanlı altkümelerinin en küçük elemanlarının aritmetik ortalaması nedir?
$
\textbf{a)}\ \dfrac{n+1}{r+1}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{r(n+1)}{r+1}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{nr}{r+1}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{r(n+1)}{(r+1)n}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Yanıt: $\boxed{A}$
En küçük elemanı $1\leq i \leq n+1-r$ olan alt küme sayısı $\dbinom{n-i}{r-1}$ dir. O halde aradığımız aritmetik ortalama: $$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n+1-r} i \cdot \dbinom{n-i}{r-1}}{\dbinom nr}.$$
Üstteki toplamı
$ \binom{r-1}{r-1} $
$+ \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1}$
$\quad \vdots $
$+ \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1} + \cdots + \binom{n-2}{r-1}$
$ + \binom{r-1}{r-1} + \binom{r}{r-1} + \cdots + \binom{n-2}{r-1} + \binom{n-1}{r-1} $
şeklinde yazabiliriz.
Sütun-Toplam Özdeşliği: $\sum\limits_{r=c}^{n} \dbinom{r}{c} = \dbinom {n+1}{c+1}$
Binom katsayıları arasındaki Sütun-Toplam özdeşliğini her satıra uygularsak,
$ \binom{r}{r} $
$+ \binom{r+1}{r}$
$\quad \vdots $
$+ \binom{n-1}{r}$
$ + \binom{n}{r} $
elde ederiz. Bunları da aynı özdeşlikten toplarsak $\binom{n+1}{r+1}$ elde ederiz.
$$\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n+1-r} i \cdot \dbinom{n-i}{r-1}}{\dbinom nr} = \dfrac{\dbinom {n+1}{r+1}}{\dbinom nr} = \dfrac {n+1}{r+1}. \blacksquare$$
-
$\{1,2,\dots, n\}$ kümesinin $r$ elemanlı bir alt kümesinin en küçük elemanı $a$ olsun. Bu alt kümeyi $a$ kez yazalım. Bu alt kümelerin her birine $x=0,1,a-1$ sayılarından birini tam olarak bir kez ekleyelim. $x$ yeni alt kümenin en küçük elemanı, $a$ da ikinci en küçük elemanı olur. Bu yeni alt kümeler $\{0,1,2,\dots, n\}$ kümesinden seçilen $r+1$ elemanlı alt kümeler olacaktır. Bu durumda ağırlıklı toplam $\binom{n+1}{r+1}$, toplam alt küme sayısı da $\binom{n}{r}$ olacaktır. Aritmetik ortalama da $\dfrac{\binom{n+1}{r+1}}{\binom nr} = \dfrac{n+1}{r+1}$ olacaktır.
-
Problemin kaynağı 1981 IMO Pr 2 (https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1981_IMO_Problems/Problem_2?srsltid=AfmBOoqYlHSft9jo5N8TLbkgTkbpzJNqSbQ870Kv7mVHrczUDbkv7paE&utm)dir ;D Neden bir IMO sorusu, hız gerektiren 1. Aşama sınavında sorulmuş anlamış değilim.
Yakın dönemde bu soruyla ilgili Prof. Refail Alizade hocamızla bir sohbetimiz olmuştu. O yıllarda bir kamp ortamındayken “Bu soruyu kim önermişti?” diye sormuş; kimseden net yanıt alamamış. "Acaba o dönem takım lideri olan Semih Koray hoca mı verdi bu soruyu?" diye sorduğumda "Semih hoca ciddi bir adamdır, O yapmaz" demişti. 1. Aşama'da sorulmuş bir başka IMO problemi daha vardı sanırım. Hatırlarsak onu da paylaşalım.
-
Güzel bir anektod olmuş.
Aslında IMO soruları, hatta daha zor sorular da 1. Aşama sınavlarında defalarca sorulmuş. O açıdan bu soru o kadar mantıksız gelmedi.
Kendi yaptığım ikinci çözüme de şaşırdım, açıkçası. Şu an kafam o zamanki kadar çalışmıyor.