Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2002 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 04, 2014, 11:34:49 öö
-
$AD \parallel BC$ ve $|AB| = |CD|$ koşullarını sağlayan bir $ABCD$ yamuğu aynı zamanda bir teğetler dörtgenidir. İç teğet çemberinin $[CD]$ kenarına değme noktası $N$, $[AN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $K$, $[BN]$ nin çemberi ikinci kez kestiği nokta $L$ olmak üzere, $\dfrac{|AN|}{|AK|} + \dfrac{|BN|}{|BL|}$ nedir?
$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 9
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ 16
$
-
Yanıt: $\boxed{C}$
$ABCD$ ikizkenar yamuğunda içteğet çemberin merkezinden taban ve tavana dikmeler indirildiğinde, bu değme noktaları ve iç merkez doğrusal olacaktır. Bu doğru yamuğun simetri ekseni olacaktır.
$CN=x$ ve $DN=y$ olsun.
$B$ noktasının içteğet çembere göre kuvvetinden $BL\cdot BN = x^2 \Rightarrow \dfrac{BN}{BL} = \dfrac{BN^2}{x^2}$,
$A$ noktasının içteğet çembere göre kuvvetinden $AK\cdot AN = y^2 \Rightarrow \dfrac{AN}{AK} = \dfrac{AN^2}{y^2}$.
$\angle BCD = \alpha$ dersek, $BN^2 = 5x^2 - 4x^2\cdot \cos \alpha$ ve $AN^2 = 5y^2 + 4y^2\cdot \cos \alpha$ olur.
Bu durumda, $\dfrac{BN}{BL} + \dfrac{AN}{AK} = 5 - 4\cos \alpha + 5 + 4\cos \alpha = 10$ elde edilir.
NOT:
Aynı soru bir önceki senede (http://geomania.org/forum/2001-159/tubitak-lise-1-asama-2001-soru-29/) de sorulmuş.