Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2001 => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 04, 2014, 10:36:41 öö

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 19
Gönderen: geo - Mayıs 04, 2014, 10:36:41 öö

$m, n, k$ tam sayıları $221m+ 247n + 323k = 2001$ eşitliğini sağlıyorsa, $k$ nin alabileceği $100$ den büyük en küçük değer kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 124
\qquad\textbf{b)}\ 111
\qquad\textbf{c)}\ 107
\qquad\textbf{d)}\ 101
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 19
Gönderen: geo - Mayıs 10, 2014, 09:52:03 öö

Yanıt: $\boxed{B}$

Eşitliği $13$ modunda incelersek, $$0 \cdot m + 0 \cdot n + -2k \equiv -1 \pmod{13} \Rightarrow k \equiv 7 \pmod{13}$$ elde ederiz. $100$ den büyük ilk $k$ sayısı da $13\cdot 8 + 7 = 111$ dir.
$$13 \cdot 17 \cdot m + 13 \cdot 19 \cdot n = 2001-323\cdot 111$$ denkleminde $\text{obeb}(13\cdot 17, 13 \cdot 19) =13 \mid (2001-323\cdot 111)$ olduğu için uygun $m$, $n$ tam sayıları bulunabilir.