Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2008 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Nisan 27, 2014, 12:25:23 öö

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 30
Gönderen: ERhan ERdoğan - Nisan 27, 2014, 12:25:23 öö

İlk terimi pozitif tam sayı olan bir dizide, her terime en büyük rakamı eklenerek bir sonraki terim elde ediliyor. Bu dizinin en çok kaç ardışık terimi tek sayı olabilir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 30
Gönderen: geo - Ağustos 19, 2023, 05:52:05 ös

Yanıt: $\boxed D$

Cevap: $5$. $\{857,865,873,881,889\}$ dizisinin istenilen koşulu sağladığı açıktır. Dizimizde $6$ tane ardışı terimin tek sayı olamayacağını gösterelim, aksini varsayalım. Dizinin ardışık üç elemanı $a, b, c$ tek sayılarını alalım. $a$ ve $b$ nin en büyük rakamları $x$ ve $y$ olsun. $x$ ve $y$ çift sayılar olduğundan, $a$ ve $b$ nin son basamakları olamazlar. Ek olarak, $a$ ve $b$ nin tüm rakamları $9$ dan küçüktür, bu da $a$ ve $b$ nin son iki basamak haricinde aynı olduğunu gösterir.

• $x<y$ ise, $y$ rakamı $b$ nin son iki rakamından biri olmak zorundadır. $b$ sayısı tek sayı olduğundan $y$ rakamı $b$ nin sondan ikinci rakamı olur. Diğer taraftan, $x$ ve $y$ çift sayılar olduğundan $x \leq y-2$ olur. $a$ nın sondan ikinci rakamı en fazla $x$ olabileceğinden $x=b-a>10$ olup çelişki elde ederiz.
• $x>y$ ise, $x$ rakamı $a$ nın son iki rakamından biri olmak zorundadır. $a$ sayısı tek sayı olduğundan $x$ rakamı $a$ nın sondan ikinci rakamı olur. $x \leq 8$ olduğundan, $b$ nin sondan ikinci rakamı $x$ veya $x+1$ olup, $x>y$ koşulu ile çelişir.

Buradan, dizimizin ardışık $6$ tek sayı terimi bir aritmetik dizi oluşturmak zorundadır, ortak farka $d$ diyelim. $d \leq 8$ olduğundan dizimizin ilk beş teriminin son rakamları $\{1,3,5,7\}$ olabilir. Güvercin yuvası prensibinden, ilk beş terim arasında son rakamları aynı olan iki terim elde ederiz. Dolayısıyla, iki terim arasındaki olası farkların oluşturduğu $\{d, 2 d, 3 d, 4 d\}$ kümesinden en az bir sayı $10$ ile bölünmelidir, bu da $d$ nin $5$ ile bölünmesini gerektirir. $d$ sıfırdan farklı çift bir rakam olduğundan bu imkansızdır. Sonuç olarak, dizimizde en fazla $5$ ardışık terim tek sayı olabilir.

Kaynak: Tübitak 16. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2008