Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2008 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Nisan 27, 2014, 12:24:09 öö
-
$xy=1$ koşulunu sağlayan her $x,y$ gerçel sayıları için, $$\left ( (x+y)^{2}+4 \right )\left ( (x+y)^{2}-2 \right )\geq A.(x-y)^{2}$$
eşitsizliği sağlanıyorsa, $A$ sayısının alabileceği en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir?
$
\textbf{a)}\ 12
\qquad\textbf{b)}\ 14
\qquad\textbf{c)}\ 16
\qquad\textbf{d)}\ 18
\qquad\textbf{e)}\ 20
$
-
Cevap: $\boxed{D}$
$x+y=m$ diyelim. Bizim $\left ( (x+y)^{2}+4 \right )\left ( (x+y)^{2}-2 \right )\geq A.[(x+y)^{2}-4]$ göstermemiz gerekir. $(x+y)^2 \ge 4xy=4$ biliyoruz. O halde $(x+y)^2=m^2=N$ için $\dfrac{(N+4)(N-2)}{N-4}$ en küçük değerini bulmalıyız. $10+(N-4+\dfrac{16}{N-4}) \ge^{A.G.O} 18$ dir. Eşitlik $x=y=\sqrt{17}+4$ için sağlanır. $A \le 18$ idir.
-
$(x-y)^2=t$ diyelim. Buna göre eşitsizlik şuna dönüşür:
$$(t^2+8)(t^2+2)\geq A\cdot t^2$$
eşitsizliğini her $x$ ve $y$ için sağlayan maksimum $A$ değerini bulmaya dönüşür. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği'nden $(t^2+8)(2+t^2)\geq 18t^2$ olduğundan $A\leq 18$ dir. Eşitlik durumu $(x,y)=(\sqrt{2}+1,\sqrt{2}-1)$ iken sağlanır.