Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2000 => Konuyu başlatan: geo - Nisan 26, 2014, 05:24:13 ös
-
$$\begin{array}{rcl}
3x^2 - 2y^2 - 4z^2 + 54 &=& 0 \\
5x^2 - 3y^2 - 7z^2 + 74 &=& 0
\end{array}$$ sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ pozitif tam sayı sıralı üçlüsü vardır?
$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Yanıt: $\boxed{B}$
$$\begin{array}{rrcl}
5/&3x^2 - 2y^2 - 4z^2 + 54 &=& 0 \\
-3/&5x^2 - 3y^2 - 7z^2 + 74 &=& 0 \\
\hline
&-y^2 + z^2 + 48 &=& 0 \\
\end{array}$$
Bu durumda
$$y^2 - z^2 = 48 \Rightarrow (y-z)(y+z) = 48$$ elde edilir.
$y$ ve $z$ pozitif tam sayılar ve $(y-z)+(y+z)=2y$ sayısı çift sayı olduğu için, $48$ i toplamları çift olmak üzere,
$$48 = 2\cdot 24 = 4 \cdot 12 = 6 \cdot 8$$ $3$ farklı şekilde çarpanlarına ayırabiliriz. Bu durumda, olası çözümler
$$\begin{array}{rclrcl}
y&=&13 & z&=&11 \\
y&=&8 & z&=&4 \\
y&=&7 & z&=&1
\end{array}$$
den ibarettir. İlk denklemden $$3x^2 = 2y^2 + 4z^2 - 54 = 2y^2 - 2z^2 + 6z^2 - 54 = 2\cdot 48 + 6z^2 - 54 \Rightarrow x^2 = 2(7+z^2)$$ elde edilir.
$2(7+z^2)$ in bir tam kare olabilmesi için $z$ nin tek sayı olması gerekir ki, bu da denenecek ihtimalleri ikiye indirir.
$y=13, z=11$ için $$x^2 = 2(7+11^2) = 256 \Rightarrow x=16$$
$y=7, z=1$ için $$x^2 = 2(7+1^2) = 16 \Rightarrow x=4$$
Yani ÇK$=\{(4,7,1),(16,13,11)\}$ dir.