Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2000 => Konuyu başlatan: geo - Nisan 26, 2014, 05:22:13 ös

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 17
Gönderen: geo - Nisan 26, 2014, 05:22:13 ös

Kenar uzunlukları $1,4,7,8$ olan bir dörtgenin alanı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 7\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 10 \sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 18
\qquad\textbf{d)}\ 12\sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ 9\sqrt 5
$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 17
Gönderen: geo - Nisan 26, 2014, 08:20:43 ös

Yanıt: $\boxed{C}$

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=3922.0;attach=15688;image)

$4$ ile $7$ ardışık iki kenar değilse, uzunluğu $1$ olan kenar $4$ ile $7$ arasındadır. Bu durumda $AB=1$, $BC=4$, $CD=8$, $AD=7$ olsun.
$AB=A'D$ olacak şekilde $AA'DB$ ikizkenar yamuğunu çizelim. $A'B=7$, $A'D=1$ ve $[A'BD]=[ABD] \Rightarrow [ABCD] = [A'BCD]$ olacaktır. Bu durumda $4$ ile $7$ ardışık iki kenar oldu. Kenarları $4$ ile $7$ olan bir üçgenin alanı en çok $\dfrac {4\times 7}2 = 14$ olabilir. Kenarları $1$ ile $8$ olan bir üçgenin alanı en çok $\dfrac {1\times 8}2 = 4$ olabilir. Bu durumda $$[ABCD]=[A'BCD]\leq 4+14 = 18$$ olacaktır. Eşitliğin sağlanması için, $4$ ile $7$ arasındaki açı $90^\circ$ ve $1$ ile $8$ arasındaki açı da $90^\circ$ olması gerekir. Bunun olabilmesi için $7^2 + 4^2 = 65 = 1^2 + 8^2$ olması gerekir ki, bu da mümkün. Demek ki, kenarları $1,4,7,8$ olan bir dörtgenin alanı en çok $18$ olabilir.

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 17
Gönderen: geo - Nisan 26, 2014, 08:24:28 ös

Kenarları sabit olan dörtgenler arasında en büyük alanlısı, kirişler dörtgenidir. Bir kirişler dörtgeninin alanı da Brahmagupta Formülü ile bulunur. $p=\dfrac {a+b+c+d}2$ olmak üzere, $$[ABCD] = \sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$ dir. Soruda verilenleri yerine yazarsak,
$$p=10 \text{ ve } [ABCD] = \sqrt {(10-1)(10-4)(10-7)(10-8)} = 18$$ elde ederiz.

Şimdi de isterseniz, yukarıdaki sonuca nasıl varıldığını açıklayalım:
$AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$, $AC=e$, $\angle ABC = \alpha$ ve $\angle CDA = \beta$ olsun.
Kosinüs Teoreminden, $$e^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \alpha = c^2 + d^2 -2cd\cos \beta \Rightarrow a^2 + b^2 - c^2 -d^2 = 2ab\cos \alpha - 2cd\cos \beta$$ olur. Her iki tarafı $2$ ye bölüp, her iki tarafın karesini alalım. $$\left(\dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}2\right)^2 = a^2b^2 \cos^2 \alpha + c^2d^2\cos^2 \beta - 2abcd\cos \alpha \cos \beta \quad \tag{1}$$
Şimdi de $ABCD$ dörtgeninde alanı yazalım. $$A=\dfrac{ab\sin \alpha}2 + \dfrac{cd\sin \beta}2 \Rightarrow 4A^2 = a^2b^2\sin^2\alpha + c^2d^2\sin^2\beta + 2abcd \sin \alpha \sin \beta \tag{2}$$ elde edilir. $(1)$ ile $(2)$ yi taraf tarafa toplarsak $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ ve $\cos (x+y) = \cos x\cos y - \sin x \sin y$ olacağından $$a^2b^2 + c^2d^2 - 2abcd\cos (\alpha + \beta) = 4A^2 + \left( \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}2 \right )^2 \tag{3}$$ elde edilir. $a,b,c,d$ verildiği için maksimum alan için $\cos (\alpha + \beta)$ değeri minimum olmalı. Yani $\alpha + \beta = 180^\circ$ olmalı. Bu da $ABCD$ nin kirişler dörtgeni olduğunu gösterir. $(3)$ yeniden düzenlersek $$a^2b^2+c^2d^2+2abcd = 4A^2 + \left( \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}2 \right )^2 \Rightarrow (ab+cd)^2 - \left( \dfrac{a^2+b^2-c^2-d^2}2 \right )^2 = 4A^2.$$ İki kare farkından yararlanarak
$(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2) = 16A^2$
$\Rightarrow \left( (a+b)^2-(c-d)^2 \right)\left( (c+d)^2-(a-b)^2 \right) = (b+c+d-a)(a+c+d-b)(a+b+d-c)(a+b+c-d).$
$p=\dfrac {a+b+c+d}2$ ise $$16A^2 = (2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)(2p-2d) \Rightarrow A=\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$$ elde edilir.

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 17
Gönderen: geo - Mart 02, 2023, 10:13:46 ös

$1$ ile $8$ yan yana ise alanın en büyük değeri $\dfrac{1\times 8 + 4\times 7}2 = 18$ olabilir. $1^2+8^2=4^2+7^2$ olduğu için de $1$ ile $8$ arasındaki ve $4$ ile $7$ arasındaki açılar $90^\circ$ olabilir.

$1$ ile $8$ yan yana değilse karşılıklıdır. Bu durumda karşılıklı kenarların kareleri toplamı birbirine eşit olduğu için bu durumdaki dörtgenin köşegenleri dik kesişir. Ptolemy eşitsizliğinden köşegenlerin çarpımı en çok karşılıklı kenarların çarpımı olabileceği için alan en fazla $\dfrac{1\times 8 + 4\times 7}2 = 18$ olabilir.

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 17
Gönderen: Eray - Mart 04, 2023, 03:49:47 öö

Bkz. Bretschneider alan formulü (https://tr.wikipedia.org/wiki/Bretschneider_formülü)

Ayrıca bkz. Çevresi sabit dörtgende max köşegenler çarpımı (https://geomania.org/forum/index.php?topic=2972.msg14191)

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 17
Gönderen: geo - Nisan 18, 2023, 11:06:17 ös

bkz. Matematik Dünyası, Şubat 2000 (https://www.matematikdunyasi.org/pdf-arsiv/#dearflip-df_3173/31/) sayısında A203 nolu soru.
Çözüm için bkz. Matematik Dünyası, Temmuz 2000 (https://www.matematikdunyasi.org/pdf-arsiv/#dearflip-df_3267/33/)