Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1999 => Konuyu başlatan: geo - Nisan 26, 2014, 04:37:29 ös
-
$a, b, c$ tam sayılar olmak üzere,
$$ \begin{array}{rcl}
x &\equiv& a \pmod {14} \\
x &\equiv& b \pmod {15} \\
x &\equiv& c \pmod {16} \\
\end{array}
$$
denklik sistemini ve $0 \leq x < 2000$ koşulunu sağlayan $x$ tam sayılarının sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
$(14,15,16)$ sayıları ikişerli olarak aralarında asal olsalardı tam bir Çinlilerin Kalan Teoremi sorusu diyecektik. Ama yine de tam bir Çinlilerin Kalan Teoremi sorusu.
Öncelikle $a, c$ sayılarından biri tek, diğeri çift ise denklik sisteminin çözümünün olmadığını görmeye çalışalım.
$$a = b = c = 0 \Rightarrow 7\cdot 15\cdot 16 | x $$ şartını sağlayan $0\leq x < 2000$ aralığında iki tane ($x=0 \lor x = 1680$) tam sayı vardır.
$$a = 13, b = 14, c = 15 \Rightarrow 7\cdot 15\cdot 16 | (x+1) $$ şartını sağlayan $0\leq x < 2000$ aralığında tek bir tane $x= 1680 - 1 = 1679$ tam sayısı vardır.
Bu durumda denklik sisteminin çözüm kümesi $0, 1$ ya da $2$ elemanlı olabilir. Denklik sisteminin çözüm kümesinin eleman sayısının $3$ olamayacağını göstereceğiz.
$$x \equiv a \pmod {14} \Rightarrow x \equiv a \pmod {7}$$ gerektirmesini kullandığımızda
$$ \begin{array}{rcl}
x &\equiv& a \pmod {7} \\
x &\equiv& b \pmod {15} \\
x &\equiv& c \pmod {16} \\
\end{array}
$$ elde ederiz. Bu sistemin çözümleri, Çinlilerin Kalan Teoremine göre $$x = 7 \cdot 15 \cdot 16 \cdot k + m = 1680k + m$$ formundadır. $0\leq x < 2000$ aralığında çözüm kümesi $1$ ya da $2$ elemanlıdır. Bu durumda ikinci denklik sisteminin çözüm kümesi $3$ elemanlı olamaz. $$x \equiv a \pmod {14} \Rightarrow x \equiv a \pmod {7}$$ gerektirmesi çift yönlü olmadığı için ikinci denklik sisteminin bazı çözümleri birinci denklik sistemini sağlamaz. Bunun içindir ki birinci denklik sisteminin çözüm kümesi $0$ elemanlı da olabilir.