Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1998 => Konuyu başlatan: geo - Nisan 26, 2014, 03:26:41 ös
-
$p$ ve $q$ tek sayıları asal sayılar dizisinin ardışık iki terimi olsun. $p+q$ sayısının farklı pozitif bölenlerinin sayısı en az kaç olabilir?
$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$
-
Yanıt: $\boxed{C}$
Tek asal sayıların toplamı bir çift sayıdır. $k>1$ olmak üzere; $p+q=2k = 2^{1}k^{1}$ sayısının da pozitif bölen sayısı en az $2 \times 2 = 4$ olacaktır. Bu son söylediğimiz şey, kısmen yanlış. Neden? $m \geq 1$ olmak üzere; $k=2$ olma durumunda, $2k = 4m$ olacağından bu ifadenin pozitif bölen sayısı $(2+1)=3$ tür. Belki de bu şekilde iki asal sayı yoktur. $3$ pozitif bölen olduğu için $m=1$ yani $p+q=4$ olması gerekir. Bu şekilde ardışık iki asal sayı yoktur. O zaman $4$ pozitif bölen için araştırma yapalım. $3+5 = 8 = 2^3$ sayısı $(3+1)=4$ pozitif bölene sahip. Gerçi soruyu çözerken düşünmediğimiz bir olasılıktan bulduk sonucu. $3$'ten az olamayacağını gösterdik, $3$ olamayacağını gösterdik. $4$'e bir örnek bulduk. O zaman cevap $4$'tür.
Aslında $p+q = 2k$'nın $4$ böleni olması için ya $k=4$ olacak, ya da $k$ bir asal sayı olacak. $k=4$ için $p=3, q=5$ asal sayıları bulunabilir.
$k$ asal sayı ise, $p+q = k + k $ olacağı için $k$'nın $p$ ile $q$ arasında bir asal sayı, yani $p<k<q$ olması gerekir. Bu da soru da verilen $p,q$ ardışık iki asal sayı ifadesine ters düşer. Yani, anlayacağınız, $p+q$ ifadesinin $4$ pozitif böleninin olmasını sağlayanan tek $(p,q)$ asal ikilisi $(3,5)$'tir.
-
$p+q \geq 8$ çift sayısının bölenlerinden bazıları kabaca $1, 2, \dfrac {p+q}2, p+q$ dir. $4$'ten daha az böleni olması için $\dfrac{p+q}2 = 2 \Rightarrow p+q=4$ olması gerekir. Asal sayılar dizisinin en küçük iki tek elemanı $3$ ve $5$ olduğu için $p+q \geq 8$ olacağıdan pozitif bölenler en azından $1,2,4,8$ olacaktır. Bu durumda $4$ pozitif bölenli $p+q$ sayısı vardır; fakat $3$ bölenli yoktur.