Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2009 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Nisan 26, 2014, 03:25:21 ös
-
$x+19y \equiv 0 \pmod {23}$ ve $x+y<69$ koşullarını sağlayan kaç $(x,y)$ pozitif tam sayı ikilisi vardır?
$
\textbf{a)}\ 100
\qquad\textbf{b)}\ 102
\qquad\textbf{c)}\ 105
\qquad\textbf{d)}\ 109
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
Yanıt: $\boxed A$
Cevap: $100$. $69=3 \cdot 23$ olduğuna göre, $x=23$ ve $x=46$ sayılarının her biri için $x+19 y \equiv 0 \pmod {23}$ denkliğini sağlayan tam olarak iki $1 \leq y<69$ sayısı bulunuyor. Benzer şekilde, her $1 \leq x<69, x \neq 23$, 46 için $x+19 y \equiv 0 \pmod {23}$ denkliğini sağlayan tam olarak üç $1 \leq y<69$ sayısı bulunuyor. Sonuç olarak $x+19 y \equiv 0\pmod {23}$ ve $1 \leq x<69,1 \leq y<69$ koşullarını sağlayan $(x, y)$ ikililerinin sayısı $68 \cdot 3-2=202$ olur. Bu ikililerden $x+y>69$, $x+y=69$ ve $x+y<69$ koşuluna uyanları sirasıla, $1.$,$2.$ ve $3.$ gruba ayıralım. $1.$ ve $3.$ grupların eleman sayıları aynıdır: $1.$ gruptaki her $(x, y)$ ikilisine karşılık olarak $3.$ gruptan $(69-x, 69-y)$ ikilisi gösterilebilir. 2. grupta sadece 2 ikili bulunuyor: $x+y=69$ ise, $23 \mid 69-y+19 y$ ve $23 \mid 18 y$. Buna göre, $y=23,46$. Demek ki, koşulları sağlayan $(x, y)$ ikili sayısı $\dfrac{202-2}{2}=100$ olur.
Kaynak: Tübitak 17. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2009