Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Nisan 19, 2014, 11:41:53 öö
-
$(AB)$ üzerinde $AX=XY=YB$ olacak şekilde $X$ ve $Y$ noktaları alalım. $XY$ nin orta noktası $M$ olsun. $BM$ çaplı çember üzerinde keyfi bir $P$ noktası alalım. $AP$, $AY$ çaplı çemberi $A$ dışında bir $Q$; $PY$, $AY$ çaplı çemberi $Y$ dışında bir $R$ noktasında kessin. $PX \cap QR = \{S\}$ olmak üzere; $QS/SR$ yi hesaplayınız.
-
(Mehmet Utku Özbek)
$\dfrac{YM}{MA}=\dfrac{BY}{BA}=\dfrac{1}{3}$ tür. Ayrıca $\angle MPB=90^\circ$ dir. Bu iki özelliğin anlamı $APY$ üçgeninde $PM$ nin açıortay $PB$ nin dış açıortay olmasıdır.Çembersellikten $\angle QAY=\angle QRY$ olduğu için $\triangle APY \sim \triangle RPQ$ dur. $\triangle APY$ de
$PX$ in kenarortay ve $PM$ nin açıortay olduğunu biliyoruz. $|QR|$ nin orta noktası $K$ olsun. Benzerlikten $\angle APX=\angle RPK$ olur. $\triangle QPR$ de $PM$ açıortay ve $PK$ kenarortaydır. Ayrıca $\angle QPS=\angle RPK$ dır. O zaman
$\triangle QPR$ de $PS$ simedyandır. Simedyanın özelliğinden $\dfrac{QS}{SR}=\dfrac{PQ^2}{PR^2}$ dir. Benzerlikten $\dfrac{PQ}{PR}=\dfrac{PY}{PA}$ dır. Açıortay teoreminden $\dfrac{PY}{PA}=\dfrac{MY}{MA}=\dfrac{1}{3}$ tür. Dolayısıyla cevap $\dfrac{1}{9}$ dur.