Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2009 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Ocak 12, 2014, 07:47:43 ös
-
Her $n \geq 0$ için, $a_{n+1} = a_{n}^{3} + a_{n}^{2} $ koşulunu sağlayan bir $(a_{n})_{n=0}^{\infty }$ tam sayı dizisinin terimlerinin $11$ e bölümünden kalanların oluşturduğu kümenin en çok kaç elemanı vardır?
$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 6
$
-
a0=0,1,3,7 .için kümemiz 1 elemenlı oluyor.
a0=2 için 23+22denktir 1 (mod11) ..... kümemiz 2 elemanlı oluyor.
a0=4 için 43+42denktir 3 (mod 11)......kümemiz 2 elemanlı oluyor.
a0=5 için 53+52denktir 7 (mod 11)....... kümemiz 2 elemanlı oluyor.
a0=6 için 63+62denktir 10(mod11)
a1=10 için 103+102denktir 0(mod 11).....kümemiz 3 elemanlı oluyor.
a0=8 için 83+82denktir 4 (mod 11 )...... kümemiz 3 elemanlı oluyor.
a0=9 için 93+92denktir 7 (mod 11) ........ kümemiz 2 elemanlı oluyor.
-
selam ...
dogru cevap 6 degıl mı?
-
cevap B seçeneğinde verilen 3 tür. Yalnız verilen çözümde küçük bir düzeltme yapmak lazım. a0 = 1 için a1 = 2, a3 = 12 = 1(mod 11), ... olduğundan a0 = 1 için kümemiz 2 elemanlı oluyor, 1 elemanlı değildir.
-
Yanıt: $\boxed B$
Cevap: $3$.
$a_n \equiv 1 \pmod {11}$ ise $a_{n+1} \equiv 2 \pmod {11}$ ve $a_n \equiv 2\pmod {11}$ ise $a_{n+1} \equiv 1 \pmod {11}$ olduğu görülebilir. Dolayısıyla $a_0 \equiv 1,2\pmod {11}$ ise en fazla $2$ elemanlı bir küme elde ederiz. $B=\{0,3,7\}$ olmak üzere, $a_n$ sayısı $11$ modunda $B$ kümesinden bir elemana denk ise, $a_{n+1} \equiv a_n \pmod {11}$ elde ederiz, bu da $a_0$ sayısının $11$ modunda $B$ kümesinden bir elemana denk olması durumunda tek elemanlı bir küme elde edeceğimizi gösterir. $C=$ $\{4,5,9,10\}$ olmak üzere, $a_n$ sayısı $11$ modunda $C$ kümesinden bir elemana denk ise, $a_{n+1}$ sayısı $B$ kümesinden bir elemana denk olur. Dolayısıyla $a_0$ sayısının $11$ modunda $C$ kümesinden bir elemana denk olması durumunda $2$ elemanlı bir küme elde ederiz. Son olarak, $a_0 \equiv 6\pmod {11}$ olması durumunda $\{6,10,0\}$ ve $a_0 \equiv 8\pmod {11}$ olması durumunda $\{8,4,3\}$ kümelerini elde ederiz, bu da cevabın $3$ olduğunu gösterir.
Kaynak: Tübitak 17. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2009