Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2009 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Ocak 12, 2014, 05:32:51 ös
-
$ABCD$ kirişler dörtgeninin $[AC]$ ve $[BD]$ köşegenleri, $P$ noktasında kesişiyor. $APB$ ve $CPD$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleri $ABCD$ dörtgeninin çevrel çemberinin üstünde ve $|AC|+|BD| = 18$ ise, $ABCD$ dörtgeninin alanı nedir?
$
\textbf{a)}\ 36
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{81}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{36\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{81\sqrt{3}}{4}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$
-
$APB$ ve $CPD$ üçgenlerinin çevrel çember merkezleri sırasıyla $T$ ve $R$ olsun. Bu durumda $ATBP$ ile $CRDP$ merkezil dörtgen $ATBD$ ile $CRDA$ kirişler dörtgenidir. Bu dörtgenlerin açısal özelliklerinden, $$\angle{ATB}+2\angle{APB}=360^\circ , \angle{CRD}+2\angle{CPD}=360^\circ$$ ve $$\angle{ADB}+\angle{ATB}=180^\circ , \angle{CAD}+\angle{CRD}=180^\circ$$ eşitlikleri vardır. Bu eşitliklerden $\angle{ADB}=\angle{CAD}=\alpha , \angle{ATB}=\angle{CRD}=180^\circ-\alpha $ ve $\angle{APB}=\angle{CPD}=90^\circ+\frac{\alpha}{2}$ açı bağıntıları bulunur. Buradan $2\alpha = 90^\circ+\frac{\alpha}{2} \Rightarrow \alpha=60^\circ$ dir. Ayrıca $ATB$ ile $CRD$ yaylarının eşitliğinden $BC \parallel AD$ dir ve $ABCD$ dörtgeni bir ikizkenar yamuk olup köşegenleri $|AC|=|BD|=9$ dur.
Buna göre; $[ABCD]=\dfrac{9.9.\sin 60^\circ}{2}=\dfrac{81\sqrt{3}}{4}$