Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Aralık 14, 2013, 12:47:14 ös
-
$ABCD$ kirişler dörtgeninde $AB=2\cdot BC = 2$ ve $DA=2\cdot CD$ ise $Alan(ABCD)$ nin alabileceği en büyük değer nedir?
-
$|DA|=2x$, $|CD|=x$, $Çevre(ABCD)=2u=3+3x$ ve $Alan(ABCD)=S$ olmak üzere Brahmagupta formülü olarak bilinen
$$S^2=(u-a)(u-b)(u-c)(u-d)$$
eşitliğinden $16S^2=(3x+1)(3x-1)(3+x)(3-x)$ olup $16S^2=(9x^2-1)(9-x^2)$ yazılır. $x^2=t$ değişken değiştirmesiyle $16S^2=(9t-1)(9-t)$ şeklinde $t$ ye göre ikinci dereceden bir ifade elde ederiz. Kolları aşağı doğru olan parabol fonksiyonu en büyük değerini tepe noktasında aldığından $t = \dfrac{9+(1/9)}{2}=\dfrac{41}{9}$ için $S_{\max}=\dfrac{10}{3}$ bulunur.
-
Soruyu genelleştirelim:
Genel Hal: $AB=a$, $BC=b$ ve $DA/CD=a/b$ olsun. $ABCD$ kirişler dörtgeninin alanı en çok kaç olabilir?
Bu genel hal; Lokman Hoca'nın yukarıdaki yaklaşımı ile çözülebileceği gibi, Lise 2. Aşama 2003/13 (http://geomania.org/forum/2003-155/tubitak-lise-1-asama-2003-soru-13/msg12558/#msg12558) sorusundaki sonuç ile de çözülebilir.
Brahmagupta Formülünden kirişler dörtgeninde kenarların sırasının önemli olmadığını görüyoruz. Bunu görmenin bir diğer yolu da, $BD$ kirişinin $C$ yi içeren tarafı üzerine kurulu $\triangle BDC'$ ($\triangle BDC \cong \triangle BDC'$) ile kenarların sırasını değiştirmemize rağmen kirişler dörtgeninin alanının değişmediği gerçeği.
Sorudaki $ABCD$ kirişler dörtgeninde, $BC$ ile $CD$ yi yer değiştirelim.
$AB=a$, $CD=b$ ve $AD/BC=a/b$ olacaktır.
Yeni dörtgende köşegenlerin kesişimi $E$ olsun.
Benzerlikten; $AE/BE=AD/BC=a/b$ ve $AE/ED=AB/CD=a/b$. Dolayısıyla, $BE=ED$.
$AE \cdot EC = BE \cdot ED = BE^2 \Rightarrow AE/EC=a^2/b^2$
$[ABE]=S$ dersek, $[ABC] = S \cdot \dfrac{a^2+b^2}{a^2}$ ve $[ABCD] = 2\cdot S \cdot \dfrac{a^2+b^2}{a^2}$
$S$ yi maksimize edersek $[ABCD]$ de maksimum olacak. $AB=a$ sabit ve $AE/BE=a/b$ oranı sabit olduğundan $[ABE]$ nin en büyük değeri, Lise 2. Aşama 2003/13 (http://geomania.org/forum/2003-155/tubitak-lise-1-asama-2003-soru-13/msg12569/#msg12569) sorusunun genel halinde gösterildiği gibi $S_\max = \dfrac{a^2}2 \cdot \dfrac{1}{\left | \frac ab - \frac ba\right |}$ olacaktır. Bu değeri yerine yazarsak, $[ABCD]_{\max} = \dfrac{ab\cdot (a^2+b^2)}{|a^2-b^2|}$ olacaktır. $\blacksquare$
Sorudaki $a=2$ ve $b=1$ verilenlerini yerine yazarsak, $[ABCD]_{\max} = \dfrac{2\cdot 1 \cdot (2^2+1^2)}{|2^2-1^2|} = \dfrac {10}3$ elde edilecektir.
Genel hal ispatladığımız için biraz karışık gelmiş olabilir. Yine de, $AB=2$, $BC=x$, $CD=1$, $DA=2x$ sorusunu yukarıda anlatılan çözüm yolunu takip ederek çözdüğünüzde 2003 sorusuna ne kadar benzediğini göreceksiniz.