Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2013 => Konuyu başlatan: geo - Kasım 29, 2013, 07:57:59 ös
-
$p^4 + 2p + q^4 + q^2 = r^2 + 4q^3 + 1$ eşitliğini sağlayan tüm $(p,q,r)$ asal sayı üçlülerini bulunuz.
(Şahin Emrah)
-
$p^4 + \underbrace{2p}_{\text{çift}} + \underbrace{q^4+q^2}_{\text{çift}}= r^2 + \underbrace{4q^3}_{\text{çift}} + 1$ olduğu için $p$ ve $r$ den biri çift olmalı.
- $r=2$ durumu:
$p^4 + 2p + q^4 -4q^3 + q^2 = 5$ denklemini ele alalım. $q\geq 4$ için $q^4 - 4q^3 + q^2 \geq 16$ olacağı için $q\in\{2,3\}$ olmalı.
$q=2$ için $p^4+2p + 16 - 32 + 4 =5 \Rightarrow p^4 + 2p = 17$ denkleminin çözümü yok.
$q=3$ için $p^4+2p + 81 - 108 + 9 =5 \Rightarrow p^4 + 2p = 23$ denkleminin de çözümü yok.
- $p=2$ durumu:
$q^4 - 4q^3 + q^2 + 19 = r^2$
$(q^2 - 2q - 2)^2 = q^4 - 4q^3 + 8q + 4$
$(q^2 - 2q - 1)^2 = q^4 - 4q^3 + 2q^2 + 4q + 1$
İki tam kare arasında bir başka tam kare bulunmayacağından
$$q^4 - 4q^3 + 8q + 4 < q^4 - 4q^3 + q^2 + 19 < q^4 - 4q^3 + 2q^2 + 4q + 1$$ eşitsizlik sistemini sağlayan $q$ değerleri için $r$ bulunmaz.
Eşitsizlik sistemini sadeleştirirsek $$8q+ 4 < q^2 + 19 < 2q^2 + 4q+1$$ elde ederiz.
Soldaki eşitsizlik için $0 < q^2 - 8q + 15 = (q-3)(q-5)$ olduğu için $q>5$ asalları için soldaki eşitsizlik her zaman sağlanır.
Sağdaki eşitsizlik için $22 < q^2 + 4q +4 = (q+2)^2$ olduğundan $q>2$ asalları eşitsizliği sağlar.
Bu durumda, $q>5$ için eşitsizlik sistemi her zaman sağlanır. Yani $q>5$ için $r$ asalı bulamıyoruz.
O halde sadece $q \in \{2,3,5\}$ değerlerini deneyeceğiz.
$q=2$ için $16 - 32 + 4 + 19 = 7 \neq r^2$
$q=3$ için $81-108+9+19=1=r^2$; ama $r$ asal değil.
$q=5$ için $625 - 500 + 25 + 19 = 169 = r^2 \Rightarrow r=13$. O halde $(p,q,r) = (2,5,13)$ çözümdür.
Sonuç olarak, sistemin asal sayılarda tek çözümü $(p,q,r) = (2,5,13)$ tür.