Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1998 => Konuyu başlatan: geo - Kasım 02, 2013, 08:47:28 ös
-
$ab^2+b+7$'nin $a^2b+a+b$'yi bölmesini sağlayan tüm $(a,b)$ pozitif tam sayı çiftlerini bulunuz.
-
$a^2b + a + b = k(ab^2+b+7)$, $\qquad (k\in \mathbb N^+)$
$a^2b+a-ab^2k - bk = 7k - b$
$(ab+1)(a-bk) = 7k - b$
$(i)$ $b=7k$ ya da
$(ii)$ $b>7k$ ya da
$(iii)$ $b<7k$
$(i)$ $b=7k$ ise $a=bk=7k^2$. O halde $(a,b)=(7k^2, 7k)$
$(ii)$ $b>7k$ ise $b < ab+1 \leq (ab+1)(bk-a) = b-7k < b$ çelişkisi elde edilir. Buradan çözüm gelmez.
$(iii)$ $b<7k$ ise $a > bk$.
$bk\cdot b + 1 < ab + 1 \leq (ab+1)(a-bk) = 7k - b < 7k$
$b^2k < 7k-1$ olduğu için $b=1$ ya da $b=2$ olabilir.
- $b=1$ ise
$k = \dfrac {a^2 + a + 1}{a+8} = a-7 + \dfrac {57}{a+8}$.
$a+8 \mid 57$ ise $a+8 = 19$ ya da $a+8 = 57$.
Bu durumda $a=11$ ya da $a=49$. Buradan $(11,1), (49, 1)$ çözümleri gelir.
- $b=2$ ise
$k = \dfrac {2a^2 + a + 2}{4a+9}$
$2k = \dfrac {4a^2 + 2a + 4}{4a+9} = a-1 - \dfrac {3a-13}{4a+9}$
$2k$ ve $a-1$ tam sayı olduğundan $4a+9 \mid 3a-13$ olmalıdır. O halde $3a-13=0$ ya da $|3a-13| \geq 4a+9$ olmalı.
$\bullet$ $3a-13 = 0$ ise $a = \dfrac {13}{3}$ olur, tam sayı değildir.
$\bullet$ $3a-13 > 0$ ise $3a-13 \geq 4a+9 \Rightarrow a \leq -22$ olur, çelişki.
$\bullet$ $3a-13 < 0$ ise $13-3a \geq 4a+9 \Rightarrow 7a \leq 4$ olur, pozitif tam sayı çözüm yoktur.
O halde $b=2$ durumundan çözüm gelmez.
O halde tüm çözümler, $(11,1),(49,1),(7k^2,7k)$ şeklindedir.