Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1993 => Konuyu başlatan: geo - Kasım 02, 2013, 08:31:12 ös

Başlık: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1993 Soru 6
Gönderen: geo - Kasım 02, 2013, 08:31:12 ös

$n>1$ bir tam sayı olsun. Bir çember üzerine $n$ tane lamba $L_0, L_1, \dots, L_{n-1}$ yerleştirilmiştir. Her lamba AÇIK ya da KAPALIdır. $S_0,S_1, \dots, S_i, \dots$ işlemler dizisi uygulanmaktadır. İşlem $S_j$ yalnızca $L_j$'nin durumunu (diğer tüm lambalarının durumunu koruyarak) şu şekilde etkiler:
   Eğer $L_{j-1}$ AÇIK ise, $S_j$, $L_j$'nin durumunu AÇIKtan KAPALIya ya da KAPALIdan AÇIKa çevirir. Eğer $L_{j-1}$ KAPALI ise, $S_j$, $L_j$'nin durumunu değiştirmez.
Lambalar $n$ moduna göre şöyle sıralanmıştır: $$L_{-1} = L_{n-1}, L_0 = L_n, L_1 = L_{n+1}, \text{vs.}$$Başlangıçta bütün lambalar AÇIK durumdadır. Aşağıdakileri gösteriniz.

• Öyle bir pozitif tam sayı $M(n)$ vardır ki, $M(n)$ işlemden sonra tüm lambalar tekrar AÇIK duruma gelmektedir.
• Eğer $n$, $2^k$ şeklindeyse, tüm lambalar $n^2-1$ işlemden sonra AÇIK duruma gelmektedir.
• Eğer $n$, $2^k+1$ şeklindeyse, tüm lambalar $n^2-n+1$ işlemden sonra AÇIK duruma gelmektedir.