Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1968 => Konuyu başlatan: geo - Kasım 02, 2013, 04:05:01 ös
-
Kenar uzunlukları ardışık tam sayılar olan ve açılarından biri diğerinin iki katı olan, bir ve yalnız bir üçgenin bulunduğunu kanıtlayınız.
-
Öncelikle aşağıdaki lemmayı ispatlayalım:
Lemma: Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{B})=2m(\widehat{C})$ ise $b^2=c^2+ac$ dir.
İspat: $[CB]$ doğru parçasının $B$ yönünde uzantısı üzerinden $|AB|=|BD|=c$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. $DAC$ üçgeni ikizkenar olup $|AD|=|AC|=b$ dir. $ABD \sim DAC$ benzerliğinden $\dfrac{|AD|}{|DC|}=\dfrac{|DB|}{|AD|}$ olup $b^2=c^2+ac$ elde edilir.
Şimdi ana problemimize dönelim. Büyük açının gördüğü kenar daha uzun olduğundan $b>a$ dır. $b^2=c^2+ac$ bağıntısından dolayı $b>c$ dir. O halde üçgenin kenar uzunlukları $x,x+1,x+2$ tamsayıları ise $b=x+2$ dir.
1. Durum: $a=x$, $c=x+1$ ise $(x+2)^2=(x+1)^2+x(x+1)$ olup $x^2-x-3=0$ denklemi elde edilir. Bu denklemin tamsayı kökü yoktur.
2. Durum: $a=x+1$, $c=x$ ise $(x+2)^2=x^2+x(x+1)$ olup $x^2-3x-4=0$ denklemi elde edilir. Buradan $x=4$ bulunur. Yani istenen özellikte bir tek $ABC$ üçgeni vardır ve $a=5$, $b=6$, $c=4$ kenar uzunluklarına sahiptir.