Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1964 => Konuyu başlatan: geo - Kasım 02, 2013, 03:41:25 ös
-
Kenarları $a,b,c$ olan bir $ABC$ üçgeninin içteğet çemberi çiziliyor. Bu çembere teğet ve kenarlara paralel olan doğrular $\triangle ABC$'den birer üçgen kesiyor. Bu üçgenlerin içteğet çemberleri çiziliyor. Bu dört içteğet çemberin alanları toplamını $a,b,c$ cinsinden bulunuz.
-
Sırasıyla $A$, $B$, $C$ köşelerini içeren üçgenlerin iç yarıçapları $r_a$, $r_b$, $r_c$ olsun.
$\triangle ABC$ nin sırasıyla $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ ye karşı dış teğet çemberlerinin yarıçapları da $R_a$, $R_b$, $R_c$ olsun.
Benzerlikten $\dfrac {r_a}{r} = \dfrac{r}{R_a} = \dfrac{u-a}{u}$ olacaktır. (İç teğet çemberin $AB$ ye değme noktasının $A$ ya uzaklığı $u-a$, dış teğet çemberin $AB$ ye değme noktasının $A$ ya uzaklığı da $u$ olduğu için)
O halde, $r_a = \dfrac {r(u-a)}u$, $r_b = \dfrac {r(u-b)}u$, $r_c = \dfrac {r(u-c)}u$
$$r_a^2 + r_b^2 + r_c^2+ r^2 = \dfrac{r^2}{u^2} \cdot \left( (u-a)^2+(u-b)^2+(u-c)^2+u^2 \right) = \dfrac{r^2}{u^2} \cdot (a^2 + b^2 +c^2)$$ $$r_a^2 + r_b^2 + r_c^2+ r^2 = \dfrac {u^2 r^2}{u^4}\cdot (a^2+b^2 + c^2) = \dfrac {u(u-a)(u-b)(u-c)}{u^4}\cdot (a^2+b^2+c^2)$$ $$\pi (r_a^2 +r_b^2 +r_c^2 +r^2) = \pi \cdot \dfrac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^3}$$