Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1961 => Konuyu başlatan: geo - Kasım 02, 2013, 03:23:42 ös
-
$M$, $BC$ doğru parçasının orta noktası ve $\omega < 90^\circ$ olmak üzere; $AC=b$, $AB=c$ ve $\angle AMB = \omega$ verilen $ABC$ üçgenini çiziniz. Bu şekilde bir çizimin yapılabilmesi için gerek ve yeter koşulun $$b\tan \frac \omega 2 \leq c < b$$ olduğunu gösteriniz. Hangi halde eşitlik geçerlidir?
-
$\angle AXC = \omega$ ve $AX=XC$ olacak şekilde ikizkenar bir üçgen oluşturalım. $(AXC)$ çemberinin bir çapı $XY$ olsun. $AC$ nin orta noktası da $N$ olsun.
$N$ merkezli $\dfrac c2$ yarıçaplı çember ile $(AXC)$ çemberi; kesişmeyebilir, tek noktada kesişebilir, ya da iki noktada kesişebilir. Bu durumları birazdan inceleyeceğiz. Şimdilik kesişim noktalarından biri $M$ olsun.
$A$ dan $NM$ ye çizilen paralel ile $CM$ doğrusu $B$ de kesişsin. Paralellikten $AB = 2\cdot NM = 2 \cdot \dfrac c2 = c$ ve $CM=MB$ olacaktır. Aynı zamanda, $AMCX$ kirişler dörtgeninde $\angle AMB = \angle AXC = \omega$ olacağı için $ABC$ sorudaki tanıma uyan bir üçgendir.
Herhangi bir üçgende, $AM$ kenarortay ve $AH$ yükseklik olmak üzere, $$\angle AMB < 90^\circ \Leftrightarrow M \in [HC]-\{H,C\} \Leftrightarrow BH < HC \Leftrightarrow AB = c < AC=b$$ olduğu kolayca görülebilir.
$N$ merkezli $Y$ den geçen çember $(XAC)$ ye teğettir. $\angle YCA = \dfrac{\angle AXC}{2} = \dfrac {\omega}2$ olduğu için $NY=\dfrac b2 \cdot \tan \frac{\omega}{2}$
$N$ merkezli $\dfrac c2$ yarıçaplı çember ile $(N, |NY|)$ çemberi kesişmez $\Longleftrightarrow$ $\dfrac c2 < NY= \dfrac b2 \cdot \tan \frac{\omega}{2} \Leftrightarrow c < b \tan \frac {\omega}2$
$c=b\tan \frac {\omega} 2$ olduğunda $Y=M$ dir. $\angle YNC = 90^\circ$ olduğu için $\angle BAC = 90^\circ$ dir. O halde eşitlik, $\triangle BAC$ bir dik üçgen iken sağlanır.