Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 1991 => Konuyu başlatan: geo - Ekim 27, 2013, 04:12:58 ös
-
$ABC$ bir üçgen ve $P$, $ABC$ üçgeninin iç bölgesinde bir nokta olsun. $\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ açılarından en az birinin $30^\circ$ ye eşit ya da $30^\circ$ den küçük olduğunu gösteriniz.
-
$P$ noktasının $BC$, $AC$, $AB$ doğruları üzerindeki izdüşümü sırasıyla $A'$, $B'$, $C'$ olsun.
Erdös–Mordell (http://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Mordell_inequality) eşitsizliğine göre $PA + PB + PC \geq 2(PA' + PB' + PC')$.
$\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ açılarından hepsinin $30^\circ$ den büyük olduğunu varsayalım.
Açılardan biri geniş açı olsun. $\angle PBC > 90^\circ$ olduğunu varsayılım. $\angle PAB$ ile $\angle PCA$, dar açıdır. Bu durumda, $\sin \angle PAB = \dfrac {PC'}{PA} > \dfrac 12$. Yani $2\cdot PC' > PA$ dır. Benzer şekilde, $2\cdot PB' > PB$. Erdős–Mordell'in sağlanması için $2 \cdot PA' < PA$, dolayısıyla da $\sin \angle PBC = \dfrac {PA'}{PA} < \dfrac {1}{2} = \sin 150^\circ$ olacaktır. $\angle PBC$ geniş açı olduğu için $\angle PBC > 150^\circ$ olur ki, bu zaten diğer açıların $30^\circ$ den küçük olduğu anlamına gelir. Çelişki.
$\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ açıların hiçbiri geniş açı olmasın. Hepsinin $30^\circ$ den büyük olduğunu varsaymıştık. $\sin \angle PAB = \dfrac {PC'}{PA} > \dfrac 12$. Yani $2\cdot PC' > PA$ dır. Benzer şekilde, $2\cdot PB' > PB$. Erdős–Mordell'in sağlanması için $2 \cdot PA' < PA$, dolayısıyla da $\sin \angle PBC = \dfrac {PA'}{PA} < \dfrac {1}{2} = \sin 30^\circ$ olacaktır. Çelişki.
O halde; $\angle PAB$, $\angle PBC$, $\angle PCA$ dan en az biri $30^\circ$ ye eşit ya da $30^\circ$ den küçüktür.